Главная > Математика > Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.5. Применение метода граничных элементов

Применяя формулу Гаусса-Остроградского к второму слагаемому в левой части выражения (4.17), получим

Рассмотрим фундаментальное решение уравнения (4.1), которое определяется из выражения

где -функция Дирака.

Представим произвольную вектор-функцию в интегральном тождестве (4.18) в виде

где k — произвольный вектор.

Тогда согласно (4.20) получаем следующее интегральное уравнение:

где

Если в рассмотрение вводятся еще и угловые точки, то величину коэффициента с необходимо определять согласно работам [6, 9, 105]. Для задачи построения сеток достаточно рассматривать только внутренние точки и точки гладкого контура где Соотношение (4.21) представляет собой интегральное уравнение прямого метода граничных элементов.

Интегральное уравнение вида (4.21) получается также при рассмотрении функции Грина в области с произвольными краевыми условиями на ее границе К. Здесь -область, полученная из области V дополнением до простейшей односвязной, для которой функция Грина получена и несложно вычисляется. Краевые условия на К могут быть любыми, лишь бы при них несложно вычислялась функция Грина и обеспечивалась хорошая устойчивость вычислений.

Следует отметить, что интегральное уравнение, полученное на основе функции Грина, в работе [75] предложено применять в

алгоритме метода разностных потенциалов для численного решения редуцированных на границу краевых задач.

В случае многосвязных областей параметров в уравнение (4.21) войдут дополнительные члены с контурными интегралами по внутренним поверхностям, аналогичные записанным.

Рассмотрим матричную формулировку метода граничных элементов на основе уравнения (4.21). Поделим область на подобластей Записывая уравнение (4.21) для подобластей граничных элементов, получим

где

Пусть граничные элементы постоянные, т. е. в пределах граничных элементов искомые величины осреднены и приняты в качестве неизвестных. Тогда получим следующие соотношения:

где

-количество внутренних ячеек для вычисления определенного интеграла

В матричной форме система (4.23) примет вид

где

-единичная матрица.

Решая систему линейных векторных алгебраических уравнений (4.24), находим вектор-столбец неизвестных Для

вычисления значений во внутренних расчетных узлах сетки необходимо воспользоваться уравнением (4.21). При этом все вычисления сводятся к вычислению определенных интегралов в правой части выражения (4.21). Техника вычисления интегралов, аналогичных интегралам в выражениях (4.23), (4.22), изложена в работах [6, 9]. Отметим, что фундаментальные решения получены для немногих частных случаев уравнения (4.1). Применение функций Грина позволяет существенно расширить класс решаемых задач по методу граничных элементов, так как функции Грина получены для ряда практически важных случаев уравнения (4.1).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление