Главная > Математика > Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ВВЕДЕНИЕ

Как известно, оболочка представляет собой пространственный материальный объект, один размер которого (толщина) много" меньше двух других размеров.

Исследования в области механики оболочек с точки зрения рассматриваемого в книге круга вопросов можно отнести к двум большим направлениям.

Первое из них связано с проблемой построения основных уравнений теории оболочек, описывающих с той или иной степенью точности механику их деформирования при внешних воздействиях, с установлением свойств и пределов применимости этих уравнений и рядом других вопросов общего теоретического характера.

Так как в механике оболочек широко используются понятия о поверхностях (срединной, лицевой, отсчета и др.) и о линиях на них (координатных, контурных и др.), то для построения основных соотношений теории оболочек привлекается ряд разделов дифференциальной геометрии поверхностей [40, 55—57, 73, 74, 106, 107].

Ярким подтверждением глубокой связи механики оболочек с геометрией являются разработка и успешное применение А. В. Погореловым геометрических методов в нелинейной теории упругих оболочек [72].

На этом этапе обычно предполагается, что для срединной поверхности задана некоторая аналитическая параметризация и известны компоненты ее метрических тензоров и символы Кристоффеля, входящие в качестве коэффициентов в основные соотношения теории оболочек. Поэтому в научной и учебной литературе по теории оболочек указанные разделы теории поверхностей освещаются лишь с той степенью полноты, которая требуется для построения основных соотношений теории. Традиционно излагаются определения поверхности и криволинейных координат на ней, квадратичной формы поверхности, базисных векторов на поверхности, вводится понятие метрики оболочки, формулы дифференцирования базисных векторов, рассматриваются уравнения Гаусса и Кодацци и некоторые другие вопросы.

Второе направление исследований в механике оболочек связано с разработкой методов их расчета с целью определения полей деформаций и напряжений, критических нагрузок потери устойчивости, частот и форм колебаний при различных внешних воздействиях.

До начала 60-х годов основная часть работ этого направления относилась к исследованию механики пластин и оболочек с каноническими очертаниями контура и срединной поверхности, допускающей аналитическую параметризацию: прямоугольных, круглых, кольцевых и секторных пластин, различных оболочек вращения (цилиндрических, конических, сферических, торовых и др.) и некоторых других видов оболочек.

Несмотря на то что перечисленные пластины и оболочки достаточно широко распространены в технике, они далеко не исчерпывают всего многообразия форм оболочечных элементов современных конструкций.

Во многих важных случаях элементами различных конструкций являются оболочки как со сложной формой срединной поверхности, не допускающей простую аналитическую параметризацию, так и со сложной конфигурацией границы. Такие оболочки, получившие название оболочек сложной геометрии широко встречаются в конструкциях летательных аппаратов, судов и других машин и аппаратов.

На всех этапах создания таких оболочечных элементов конструкций, начиная от проектирования, кончая их изготовлением, инженерам и исследователям приходится решать разнообразные геометрические задачи теории поверхностей. Они связаны, в частности, с необходимостью описания формы изделий, с подготовкой производства, когда проектируется и изготавливается различная технологическая оснастка, включающая материальные носители геометрической информации (плазы, шаблоны, стапели). При сжатых сроках проектирования и создания новых образцов техники такие геометрические задачи могут быть успешно решены только на основе современных методов математического моделирования поверхностей, ориентированных главным образом на применение электронных вычислительных машин (ЭВМ). В связи с возросшими потребностями практики в настоящее время интенсивно развивается новая ветвь прикладной математики—инженерная и вычислительная геометрия, которая дает математический аппарат и методы решения инженерных геометрических задач, задач описания, аппроксимации и синтеза поверхностей общего вида [1, 4, 12, 25, 31, 36, 38, 58, 78, 108, 112].

При разработке методов расчета оболочек сложной геометрии к способам описания и параметризации их срединных поверхностей, связанным с построением на поверхности сети криволинейных координатных линий и вычислением компонент метрических тензоров поверхности и символов Кристоффеля, предъявляется ряд дополнительных требований. Наиболее важным из них можно удовлетворить, так как задачи параметризации поверхности, как правило, допускают неоднозначное решение.

Эти требования обусловливаются как способом решения самой задачи параметризации, так и выбором метода решения задачи деформирования оболочки. При этом способы описания

поверхностей целесообразно согласовывать с методами решения задач механики оболочек и оболочечных систем.

В связи с этим можно отметить, что практически все приближенные методы решения многомерных задач математической физики, в том числе и задач теории оболочек, наиболее просто реализуются, если области интегрирования соответствующих уравнений являются каноническими или могут быть составлены из канонических. Так, например, для канонических областей при использовании приближенных методов, основанных на вариационных принципах (методы Бубнова-Галеркина, Ритца-Тимошенко и т. д.), наиболее просто строятся координатные функции, аппроксимирующие искомые решения задачи; в канонических областях наиболее просто строятся разностные схемы, которые аппроксимируют исходные дифференциальные уравнения и граничные условия соответствующих краевых задач и т. д. Поэтому при формулировке задач механики оболочек часто наиболее целесообразной и эффективной оказывается такая параметризация срединной поверхности, в которой отрезки координатных линий совпадают с соответствующими контурными линиями оболочки.

Если для оболочки построена соответствующая параметризация, то все соотношения теории оболочек, как правило, должны быть отнесены к той метрике, которая отвечает выбранной параметризации.

В механике оболочек задачи вычислительной геометрии привлекли внимание исследователей сравнительно недавно и главным образом в связи с необходимостью разработки методов прочностного анализа оболочек сложной геометрии. Основу этих методов составляет использование уравнений механики оболочек общего вида, тензорная запись которых практически до начала 70-х годов рассматривалась лишь как удобный аппарат для их теоретического анализа и компактного представления. Эти взгляды стали меняться с появлением достаточно мощных ЭВМ, применение которых позволило полностью автоматизировать процедуру построения алгебраических аналогов системы разрешающих уравнений теории оболочек исходя из уравнений равновесия, физических и кинематических соотношений, записываемых в тензорной форме в некоторой метрике, к которой отнесена срединная поверхность оболочки или ее поверхность приведения. Так как алгоритмы решения задач теории оболочек наиболее просто реализуются на ЭВМ для канонических областей, то значительная часть исследований в области механики оболочек сложной геометрии, использующих указанный подход, относится к случаю, когда контурные линии оболочки совпадают с отрезками координатных линий на срединной поверхности. В числе первых исследования в области механики оболочек сложной геометрии выполнены в работах Д. В. Вайнберга, В. И. Гуляева и их учеников. (Сведения об этих исследованиях содержатся в обзорной статье Я. М. Григоренко На основе уравнений, использующих гипотезы Кирхгофа-Лява и метод конечных

разностей (МКР), ими разработаны вычислительные комплексы для анализа напряженно-деформированного состояния и устойчивости различных оболочек этого класса. Важные работы по развитию и реализации метода конечных элементов (МКЭ) в задачах прочности, устойчивости и динамики гладких и ребристых оболочек, массивных тел и комбинированных конструкций выполнены А. С. Сахаровым и его сотрудниками (см. обзор [34]).

Цикл исследований, связанных с разработкой аналитических и численно-аналитических методов параметризации срединной поверхности оболочек сложной геометрии и основанных на построении отображения некоторой базы параметризации на срединную поверхность оболочки путем фиктивного деформирования, выполнен В. Н. Паймушиным и М. С. Корнишиным [42, 43, 61—63, 67]. В рамках этих методов задачи механики оболочек формулируются на основе соотношений теории оболочек общего вида и их решение отыскивается в канонической области, принадлежащей определенным образом выбираемой базе параметризации. На основе этого подхода В. Н. Паймушиным и М. С. Корнишиным с сотрудниками разработаны методы и пакеты прикладных программ для решения ряда задач статики оболочек сложной геометрии в рамках соотношений как классической теории [30, 46], так и уточненных теорий [45, 64, 68], а также трехслойных и многослойных оболочек со слоями постоянной и переменной толщины [3, 68, 69]. Исследованы вопросы применения прямых методов для решения задач теории оболочек в неканонических областях [44, 70], разработаны различные варианты интегрально-разностного метода для численного решения уравнений теории оболочек, записываемых в инвариантной тензорной символике [45, 64, 68].

Из всего многообразия оболочек сложной геометрии можно выделить такой класс оболочек, у которых срединные поверхности оказываются пологими относительно некоторой канонической поверхности, выбранной в качестве базы параметризации. Это понятие пологости предложено В. Н. Паймушиным [20, 65—67, 71] в качестве обобщения понятия пологости относительно плоскости, введенного В. 3. Власовым.

Полученные в работах [20, 65—67, 71] уравнения, являющиеся обобщением известных уравнений теории пологих оболочек, нашли применение для численного решения различных задач статики и термоупругости однослойных оболочек сложной формы.

Численные методы решения задач статики, свободных колебаний, нестационарной теплопроводности и оптимизации оболочек сложной - формы, пологих относительно резных поверхностей отсчета, развиты Я. Г. Савулой [80]. Им же проведены исследования особенностей механики деформирования оболочек с резными срединными поверхностями и некоторых составленных из них пространственных оболочечных конструкций [80].

При разработке методов расчета оболочек сложной формы, срединная поверхность которых не описывается явными

аналитическими выражениями в параметрическом виде, важную роль играют численные алгоритмы решения задач параметризации. В механике оболочек последние стали выделяться в отдельную задачу вычислительной геометрии в работах В. Н. Паймушина, предложившего определять геометрические параметры оболочки через геометрические параметры поверхности отсчета и введенные в рассмотрение отображающие функции [65, 67], и Н. П. Флейшмана, Я. Г. Савулы, использовавших идею представления срединных поверхностей оболочек сложной формы резными и каналовыми поверхностями [80] (см. также обзор [34], в котором выполнен подробный анализ упомянутых исследований).

Метод конечных разностей для численного решения задачи параметризации применяли Е. И. Сайков [81], М. Ф. Гарифуллин и И. С. Селин [22, 23]. В работах этих авторов рассматривались оболочки, срединная поверхность которых задана табличными значениями радиуса-вектора поверхности в декартовой системе координат.

На основе такой параметризации вычислялись компоненты метрических тензоров срединной поверхности и были разработаны алгоритмы решения задач динамики для оболочек произвольной формы с применением метода конечных разностей [81] и метода прямых [22, 23].

Следует отметить, что на первых этапах применения МКЭ в практике расчетов срединная поверхность оболочек принималась в виде аналитического параметрического выражения. Более общие алгоритмы расчета оболочек произвольной формы получаются в результате применения изопараметрических и суперпараметрических конечных элементов.

Изопараметрические конечные элементы рассмотрены в работах Я. М. Григоренко и С. С. Кокошина [35], Р. Б. Рикардса и А. К. Чате [77] и других.

При применении изопараметрических конечных элементов задача параметризации не выделяется в отдельную самостоятельную задачу и решается на основе аппроксимирующих функций, принятых для численного решения задачи механики деформирования оболочки. В работах Э. И. Григолюка и Г. М. Куликова [32, 33] для построения эффективных алгоритмов с применением МКР или МКЭ задачу параметризации рекомендуется решать предварительно, а затем по известным метрическим тензорам строить численное решение уравнений механики оболочки. Ими показано, что высокую точность решения задачи параметризации для оболочек сложной формы обеспечивают кубические сглаживающие сплайны. Применение бикубических скалярных сплайнов [1, 37] для решения задачи параметризации дано в работе Н. М. Якупова в которой рассмотрены двумерные задачи механики оболочек. Применение рациональных сплайнов при численном решении задачи параметризации для оболочек в виде резных поверхностей рассмотрено в работе . Савулы [80].

В работах В. Ф. Снигирева [85, 86, 98, 99] срединная поверхность оболочки сложной формы рассматривается как двумерное многообразие в трехмерном пространстве [74, 109]. Такой подход позволил применить для численного решения задачи параметризации функциональные сплайны в векторно-параметрической форме. Применение рассмотренного подхода для исследования динамического нагружения слоистой оболочки рассмотрено в работах [24, 50]. Основные идеи двумерных многообразий использовались также в ранее цитированных работах [22, 23, 81] при построении конечно-разностных методов решения задачи параметризации для оболочек произвольной формы.

В заключение отметим, что приведенный обзор не претендует на исчерпывающую полноту, в нем упомянуты только те работы, которые имеют непосредственное отношение к рассматриваемому вопросу.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление