Главная > Математика > Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.2. Интерполирование регулярной поверхности алгебраическими многочленами

Рассмотрим прямоугольную область в декартовой системе координат и выберем в ней сеть расчетных линий Пусть для каждого узла на пересечении расчетных линий известно значение радиуса-вектора поверхности т. е. Представим поверхность в следующем виде:

где

— базисные интерполяционные многочлены Лагранжа, построенные на сетке

Нетрудно видеть, что многочлен (3.4) просто строится и позволяет интерполировать поверхности, гомеоморфные плоскому прямоугольнику. При этом строится также непрерывная сеть криволинейных координатных линий для аппроксимируемой поверхности Недостатком многочлена (3.4) является то, что в нем содержатся члены со степенями высоких порядков, тогда как некоторые члены более низкого порядка отсутствуют.

Рассмотрим применение, алгебраических многочленов, зависящих от двух переменных и содержащих все члены для многочлена рассматриваемого порядка. Пусть дано узлов сетки :

для которой выполняются условия при Здесь область определена следующим образом:

— и представляет собой прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат

Будем искать поверхность гомеоморфную в виде алгебраического многочлена

где —неизвестные векторы, подлежащие определению,

Полагаем, что для каждого узла сетки (3.4) известно значение радиуса-вектора поверхности Выразим неизвестные величины в многочлене (3.6) через значения радиуса-вектора в узлах сетки (3.5) [7]. Тогда многочлен (3.6) примет следующий вид:

где

— разделенная векторная разность для функции двух переменных, вычисляемая, как для функции одной переменной, если один из аргументов считается постоянным.

Рассмотрим примеры вычисления нескольких разделенных разностей на сетке :

Многочлен (3.6) вырождается только в том случае, когда узлы сетки А лежат на кривой порядка, проходящей через все эти узлы. При выборе узлов согласно (3.5) такая ситуация невозможна. Следовательно, многочлен (3.7) существует и имеет единственное представление.

В заключение отметим, что применение алгебраических многочленов высоких степеней не всегда может быть рекомендовано, так как в некоторых случаях они приводят к плохой аппроксимации поверхности в промежутках между узлами сетки А. Этот факт имеет место, когда аппроксимируемая функция сильно отличается от алгебраического многочлена.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление