Главная > Разное > Гидроаэромеханика (Прандтль Л.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 15. Совместное действие вращения Земли и горизонтальных градиентов плотности и скорости. Общая циркуляция атмосферы.

а) Вопросы устойчивости. В § 7 гл. I мы рассмотрели вопросы, связанные с устойчивостью расслоений атмосферы для случая покоя. Там было показано, что адиабатическое расслоение равносильно безразличному состоянию равновесия несжимаемое жидкости со всюду одинаковой плотностью (при адиабатическом расслоении каждая частица жидкости, будучи перемещена на новый уровень, не стремится вернуться на старый уровень). В конце § 13 этой главы мы ввели для газа, т.е. для сжимаемой жидкости, понятие потенциальной температуры. Для расслоенного газа, подверженного действию силы тяжести, потенциальная температура играет такую же роль, как плотность для расслоенной несжимаемой жидкости. При адиабатическом расслоении, которое, согласно сказанному, является безразличным состоянием равновесия, потенциальная температура, на основании ее определения, имеет постоянное значение. Следовательно, об устойчивости расслоения атмосферы можно судить по быстроте возрастания потенциальной температуры с высотой. Поверхности равной потенциальной температуры в идеальном случае расположены горизонтально. Однако в том случае, когда температура изменяется также в горизонтальном направлении, эти поверхности наклонены к горизонту. При сильной вертикальной устойчивости этот наклон весьма мал.

Если не учитывать вращения Земли, то частица устойчиво расслоенной атмосферы может как угодно перемещаться на поверхности равной потенциальной температуры. В действительности же вращение Земли, в соответствии со сказанным в § 9, п. с), приводит к следующему: перемещение частицы в направлении оси у на расстояние

вызывает появление скорости в направлении оси эта скорость, как нетрудно подсчитать, равна

и вызывает, в свою очередь, появление кориолисова ускорения, параллельного оси у и направленного к оси х, т.е. к первоначальному положению частицы. Однако частица будет двигаться в направлении этого ускорения только в том случае, если этому не будет препятствовать поле давлений, связанное с существующим распределением скоростей.

Таким образом, на поверхности равной потенциальной температуры вообще имеет место также динамическая устойчивость. Наличие поля скоростей может нарушить эту устойчивость. Для примера рассмотрим наиболее простое движение, при котором все частицы имеют параллельные скорости а потенциальная температура в каждой горизонтальной плоскости постоянная. Состояние такого движения будет с точки зрения устойчивости безразличным, если каждая частица, переместившаяся в направлении оси у, получит при дальнейшем перемещении под действием вращения Земли в своем новом положении такую же скорость, какую в этом положении имела частица, находившаяся здесь с самого начала. Очевидно, это будет иметь место в том случае, когда

При таком движении угловая скорость относительно вращающегося основания, согласно определению, будет

(антициклональное направление вращения!), следовательно, абсолютная угловая скорость равна нулю. Таким образом, относительное движение, состояние которого, с точки зрения устойчивости, является безразличным, тождественно с таким относительным движением, в котором, если его рассматривать в неподвижной системе отсчета, частицы жидкости не совершают вращения. С этой точки зрения указанный выше признак безразличного состояния применим также к криволинейным установившимся относительным течениям. Если угловая скорость антициклонального движения больше то установившееся относительное течение будет неустойчивым. Для рассмотренного нами примера прямолинейного относительного течения это условие требует, чтобы

имело место соотношение

В жидкости, находившейся до начала движения в покое относительно вращающегося основания, т. е. вращавшейся относительно неподвижной системы отсчета с угловой скоростью такое неустойчивое состояние в нормальных условиях под действием внешнего давления не может возникнуть.

b) Связь между полем плотности и полем скоростей. Рассмотрим теперь такие состояния, при которых в горизонтальном направлении изменяется также плотность. Для упрощения расчетов примем, что в каком-нибудь одном горизонтальном направлении скорость и и плотность постоянны. В атмосфере таким направлением, которое мы совместим с осью х, обычно является направление запад-восток. В таком случае ось у будет направлена с юга на север. Вращение пусть происходит на горизонтальном основании с угловой скоростью Если скорость и положительна, т.е. направлена к востоку, то кориолисово ускорение при сделанном выборе осей будет направлено в сторону отрицательной оси у, т. е. к югу, и поле давлений будет определяться следующими уравнениями:

Для того чтобы было возможно равновесие между силами тяжести и кориолисовыми силами, с одной стороны, и полем давлений с другой стороны, необходимо, чтобы соблюдалось условие

Это условие приводит к примечательному соотношению

впервые установленному Маргулесом и связывающему градиент плотности в направлении юг-север с градиентом произведения по высоте. Следовательно, если при перемещении от экватора к полюсу температура постепенно понижается, вследствие чего плотность в горизонтальном направлении увеличивается, то произведение плотности на скорость и, направленную с запада на восток, увеличивается с высотой. Так как плотность с высотой всегда уменьшается, то только что сказанное означает, что скорость движения с запада на восток быстро возрастает с высотой.

Пусть плотность изменяется с высотой по политропическому закону

суть давление и плотность на поверхности земли. Тогда, имея в виду соотношения

мы найдем после простых вычислений, что

Подставляя это значение в уравнение (81), мы получим:

Наблюдения показывают, что скорость западного ветра действительно всегда увеличивается с высотой, а скорость восточного ветра, наоборот, уменьшается.

Если изменение плотности в направлениях происходит по политропическому закону с одним и тем же показателем то на основании уравнения (80) мы будем иметь:

Подставляя это значение в уравнение (82), мы получим:

следовательно, для Зависимость и от у может быть произвольной.

с) Общая циркуляция атмосферы на земном шаре. Общая циркуляция атмосферы является фундаментальной проблемой метеорологии. С точки зрения гидромеханики об этой проблеме можно сказать следующее. В области экватора воздух теплый, в области полюса — холодный, следовательно, на равных высотах z над поверхностью земли плотность воздуха около экватора меньше, чем около полюсов; поэтому в области экватора возникают мощные восходящие движения воздуха, а около полюсов, наоборот, нисходящие движения. Вследствие условия неразрывности эти перемещения воздушных масс приводят к течению воздуха от экватора к полюсам в верхних слоях атмосферы и от полюсов к экватору в нижних слоях. Такое движение воздуха, регулируемое силами турбулентного трения, в старых теориях общей циркуляции атмосферы принимали за главное течение; для учета же влияния, оказываемого вращением Земли, налагали на это течение добавочное, своего рода вторичное, течение, вызванное кориолисовыми силами, связанными с главным течением, причем учитывали, что добавочное течение также влечет за собой появление кориолисовых сил. Подобного рода разложение действительного течения на основное и добавочное считали возможным потому, что вращение Земли происходит с очень небольшой угловой скоростью и поэтому, якобы, не может оказать значительного влияния на общую циркуляцию атмосферы. Однако такое предположение было совершенно неправильным, так как недопустимо было пользоваться секундой в качестве единицы времени при исследовании процесса, в котором массы воздуха, движущиеся на большой высоте с запада на восток, описывают путь относительно Земли, равный длине окружности экватора, в среднем в течение 10 суток (движение с юга на север происходит еще медленнее — на путь от экватора до полюса уходит около 100 суток). Таким образом, в процессе общей циркуляции атмосферы угловую скорость следует относить не к одной секунде, а к большей единице времени, и тогда окажется, что роль вторичного течения значительно выше (примерно в 40 раз) роли основного течения. В самом деле, основное течение почти целиком тормозится кориолисовыми силами, связанными с течением с запада на восток, и проявляет свое действие в основном только через посредство поля давлений.

Для получения правильной, хотя и приближенной теории общей циркуляции атмосферы следует исходить из уравнения (81). Заменяя в нем на на и интегрируя в предположении, что распределение плотности задано, мы получим:

где есть постоянная интегрирования, представляющая собой скорость ветра около поверхности земли, точнее говоря, скорость ветра на внешней границе пограничного слоя. Уравнение (83) Дает для каждой широты распределение скорости западного или восточного ветра по высоте. Если бы трения не было, то поле давлений, определяемое уравнениями (79) и (80), полностью уравновешивало бы кориоллсову силу Однако в действительности трение всегда существует. Турбулентное касательное напряжение в плоскости соприкосновения двух текущих друг над другом слоев равно

где А есть коэффициент турбулентной вязкости (стр. 165). Величина (разность значении в двух слоях, лежащих друг над другом на расстоянии, равном единице) представляет собой силу, действующую на единицу объема в направлении с запада на восток. Эта сила уравновешивается кориолисовои силой, связанной с течением с юга на север со скоростью следовательно, мы можем написать:

откуда найдем скорость

Из условия неразрывности следует, что поле скоростей в направлении юг-север должно быть связано с полем вертикальных скоростей посредством уравнения

При интегрировании этого уравнения следует учесть, что поток массы воздуха переносимый ветром в слое трения, несколько увеличивает скорость вблизи поверхности земли. Согласно сказанному в масса равна

где есть составляющая касательного напряжения приземного течения в направлении градиентного ветра (в § 10 эта составляющая была обозначена через Упомянутая выше постоянная интегрирования т.е. скорость градиентного ветра вблизи поверхности земли, также может быть выражена через то Приближенно можно принять, что

откуда

Остается определить величину то для чего следует воспользоваться теоремой о моменте количества движения (стр. 113). На широте поток момента количества движения через площадь имеющую своим основанием параллель радиуса равен

где есть высота тропосферы — того слоя атмосферы, в котором происходят все движения, связанные с циркуляцией. На экваторе интеграл (86) равен нулю, так как там, как это следует из соображений симметрии, на полюсах он также равен нулю, так как там Отсюда следует, что результирующий момент вращения сил трения всех ветров между экватором и полюсом должен быть равен нулю, а это означает, что момент вращения сил трения западных ветров равен моменту вращения сил трения восточных ветров. Между экватором и широтой момент вращения сил трения равен

Этот момент численно должен совпадать с интегралом (86). Если скорости считать положительными для западного и южного ветров,

а касательное напряжение при западном ветре — отрицательным, то тогда перед интегралом (87) следует поставить знак минус. Приравнивая друг другу интегралы (86) и (87) и дифференцируя полученное соотношение по мы найдем:

Таким образом, мы получили все предпосылки для необходимого расчета. Однако выполнение такого расчета представляет большую трудность. Необходимо, впрочем, заметить, что можно получить довольно точное значение то, если определить из уравнений (83) и (84) в предположении, что

До настоящего времени в качестве предварительного исследования рассматривалась более простая задача о циркуляции жидкости постоянной плотности, расположенной на поверхности вращающегося небесного тела в виде тонкого слоя и движущейся под действием массовых сил, направленных в области экватора вверх, а около полюсов — вниз. Эту задачу удалось полностью решить при некоторых допущениях относительно поля массовых сил и величины коэффициента турбулентного перемешивания. Из полученных результатов приведем здесь следующие:

Рис. 304. Распределение скорости и по высоте: а) в зоне пассатов, b) в зоне западных ветров

1. В полном согласии с наблюдениями вычисления показывают, что по обе стороны от экватора в нижних слоях дуют восточные ветры, причем в северном полушарии они отклоняются вследствие трения к югу, а в южном полушарии — к северу. Зона этих ветров, называемых пассатами, достигает до тех широт, на которых интеграл (86) принимает свое наибольшее значение. Над пассатами дуют западные ветры, так называемые антипассаты, скорость которых увеличивается вместе с широтой. На экваторе имеет место почти полное затишье. В северном

полушарии к северу от той широты, на которой интеграл (86) достигает максимума, западный ветер спускается до поверхности земли, получая здесь вследствие трения отклонение к северу. На рис. 304а изображено распределение скорости и по высоте в зоне пассатов, а на рис. 3046 в зоне западных ветров. Напомним, что оба эти распределения построены для случая постоянной плотности. Для плотности, уменьшающейся кверху, увеличение скорости ветра с высотой происходит быстрее [см. конец пункта b) этого параграфа].

2. Обе составляющие расположенные в плоскости меридиана, приводят к такому циркуляционному движению, в котором теплые экваториальные массы воздуха поднимаются, а холодные полярные массы, остывшие вследствие излучения тепла, опускаются. Под этой циркуляцией в зоне западных ветров имеет место противоположная циркуляция, обусловленная трением о поверхность земли и простирающаяся, при положенном в основу расчета предположении о поле массовых сил, только на небольшую высоту.

Рис. 305. Циркуляция атмосферы в плоскости меридиана (области высокого давления отмечены знаками а области низкого давления знаками

На рис. 305 изображена схема обоих циркуляционных движений в северном полушарии, причем для наглядности масштаб в вертикальном направлении взят значительно большим, чем в горизонтальном направлении.

Более точная теория должна основываться на изменении распределения плотности, вызванном обеими циркуляциями. Пассаты несут теплые массы воздуха, нагревшиеся около поверхности земли, к экватору и С севера и С юга, вследствие чего здесь возникает особенно большое Скопление теплого воздуха. Этот воздух, содержащий большое количество влаги, при подъеме изменяет Свое Состояние По влажной адиабате и Поэтому поднимается на весьма большую высоту, где сильно охлаждается. Нижняя циркуляция в зоне западных ветров несет теплые массы воздуха из Субтропических областей

к полюсам. Так как при этом теплые массы воздуха оказываются под холодными массами, то здесь движение воздуха отличается резко выраженной неустойчивостью. Именно этой неустойчивостью и объясняется регулярное возникновение циклонов. При возникновении циклонов теплый воздух отрывается от поверхности земли и поднимается вверх. Наконец, к северу от области циклонов находится третья циркуляция — циркуляция полярных ветров, в которых основную роль играет охлаждение приземного слоя воздуха вследствие излучения тепла. Эта циркуляция несет холодные массы в северном полушарии к югу, в область циклонов, где они смешиваются с южными ветрами в приземной зоне трения. Все эти явления можно учесть при вычислениях, если в области циклонов в уравнение (84) подставить несколько большее значение для коэффициента турбулентной вязкости.

3. Поле давлений в плоскости меридиана имеет следующую структуру. Вблизи поверхности земли градиент давления возникает вследствие градиентного ветра, имеющего здесь небольшую скорость и поэтому он также мал. На границе зоны пассатов и западных ветров находится область высокого давления; около экватора и вблизи полюсов находятся области низкого давления. Значительно большие значения имеют разности давлений на высоте, где они уравновешиваются кориолисовыми силами, связанными с западными ветрами. Высоко над экватором расположена область особенно высокого давления, вызванная устремляющимися вверх теплыми массами воздуха; наоборот, высоко над полюсом расположена область особенно низкого давления.

В еще неопубликованной к моменту выпуска этой книги работе автор показал, что движения, происходящие в атмосфере, целесообразно разделять на кратковременные и долговременные. Если промежуток времени, который требуется определенной частице для того, чтобы пройти рассматриваемый путь, не превышает приблизительно двух часов маятниковых суток (в наших широтах это соответствует примерно трем обычным часам, вблизи экватора — соответственно больше), то обычное гидродинамическое ускорение, определяемое уравнениями (12) и (13) гл. II, составляет преобладающую часть полного ускорения. В этом случае кориолисово ускорение влияет на движение незначительно, и движение происходит в основном так, как если бы вращение Земли отсутствовало. Если же время движения определенной частицы превышает половину маятниковых суток, то гидродинамическое ускорение в общем случае мало по сравнению с кориолисовым ускорением, и поэтому в первом приближении его можно не учитывать.

Согласно такой классификации, течения, рассмотренные в § 9, п. а), 12 и 13, являются кратковременными, а течения, рассмотренные в § 10,

14 и 15 — долговременными. Теории, изложенные в § 8, 9, п. b), 9, п. с) и 11, являются точными.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление