Главная > Разное > Гидроаэромеханика (Прандтль Л.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9. Влияние вращения Земли на движения в атмосфере и в морях

а) Вращение Земли оказывает существенное влияние на поведение земной атмосферы и водных масс в морях. Так как центробежная сила, связанная с вращением Земли, действует одинаково и на покоящиеся и на движущиеся массы и составляет просто некоторую долю ощутимой силы тяжести, то при исследовании движений следует особо учитывать только кориолисову силу или соответствующее ей

кориолисово ускорение. Наиболее важную роль играет горизонтальная составляющая этого ускорения, равная где есть географическая широта места, скорость относительно поверхности земли, предполагаемая горизонтальной, а из - угловая скорость вращения Земли. Так как в звездных сутках содержится 86164 сек, то

Скорость может иметь любое направление в горизонтальной плоскости. Для того чтобы доказать, что вертикальная составляющая кориолисова ускорения не играют заметной роли, разложим вектор угловой скорости из (он направлен вдоль земной оси) на две составляющие: одну — вдоль вертикали, а другую — в горизонтальной плоскости вдоль направления юг-север. Последняя составляющая, равная по модулю из после умножения на удвоенную скорость дает вертикальную составляющую кориолисова ускорения. Эта составляющая столь мала по сравнению с ускорением силы тяжести, что в большинстве случаев ее можно не учитывать. Первая же составляющая, равная по модулю из после умножения на удвоенную скорость дает горизонтальную составляющую кориолисова ускорения, перпендикулярную к направлению скорости и равную В северном полушарии горизонтальная составляющая кориолисова ускорения повернута относительно направления скорости вправо, а в южном полушарии — влево; на экваторе она равна нулю, а на полюсах имеет наибольшие значения.

Пусть в горизонтальной плоскости равномерно движется со скоростью материальная точка. Так как горизонтальная составляющая кориолисова ускорения перпендикулярна к скорости а последняя остается все время постоянной, то очевидно, что траекторией точки будет окружность. Для определения радиуса этой окружности, называемой инерциальной окружностью, мы имеем соотношение:

откуда

Время обращения материальной точки по инерциальной окружности равно

Как известно, маятник Фуко делает один полный оборот в промежуток времени

Этот промежуток времени называется маятниковыми сутками. Следовательно, инерциальная окружность описывается движущейся точкой всегда в течение половины маятниковых суток, независимо от того, какую скорость имеет точка. Такого рода движение по инерциальной окружности иногда наблюдается в атмосфере и в морях после быстро протекающих возмущающих процессов.

b) Кривизна земной поверхности значительно усложняет исследование влияния вращения Земли на движения в атмосфере и в морях. Поэтому сначала рассмотрим, как происходит движение жидкой массы на плоскости, вращающейся с угловой скоростью При вращении Земли центробежная сила является по существу составной частью того, что называется силой тяжести; поэтому при исследовании движения жидкости на вращающейся плоскости целесообразно наложить на силовое поле дополнительное поле центростремительных сил так, чтобы исключить проявление центробежной силы. Тогда масса жидкости, покоящаяся относительно вращающейся плоскости, будет иметь плоскую поверхность уровня. Плотность жидкости примем постоянной; кроме того, для дальнейшего упрощения предположим, что жидкость не обладает трением.

Сообщим теперь некоторой части этой жидкости скорость относительно вращающейся плоскости, причем так, чтобы эта скорость была одинаковой по величине и направлению по всей высоте слоя жидкости. Если вращение происходит так же, как и в северном полушарии Земли, т.е. в сторону, обратную вращению часовой стрелки, то поверхность уровня рассматриваемой части жидкости получит под действием кориолисова ускорения наклон в направлении, перпендикулярном к скорости при этом высота уровня вдоль направления

скорости останется неизменной, а справа от направления повысится. Рассмотрим теперь область жидкости, занимающую большое протяжение, и пусть в этой области при переходе от одной точки к другой величина и направление скорости постепенно изменяются (но остаются постоянными во времени в каждой точке). Тогда, согласно только что сказанному, разность уровней жидкости на концах отрезка перпендикулярного к скорости будет

Проследим какую-нибудь линию тока. Вследствие неразрывности должно иметь место равенство

поэтому для должно быть

В таком случае из равенства (30) следует, что

Таким образом, для любой формы свободной поверхности жидкости, определяемой системой горизонталей (т.е. линиями равного уровня), возможно такое установившееся течение, линии тока которого совпадают с горизонталями. Единственным ограничением является величина скорости при заданном наибольшем значении кривизны горизонталей она не должна превышать некоторого определенного значения, именно такого, при котором еще можно пренебречь трансверсальным ускорением обусловленным кривизной траектории, по сравнению с кориолисовым ускорением. [Еще раз подчеркнем, что в основу сделанного вывода положено предположение об отсутствии трения, а также об отсутствии кривизны или наклона вращающейся поверхности. Если эта поверхность неровная, например, имеет возвышения или имеет наклон, то возникают более сложные соотношения (см. ниже).] Там, где уровень жидкости понижен (области низкого давления), направление обхода замкнутых линий тока совпадает с направлением вращения основания, наоборот, там, где уровень жидкости повышен (области высокого давления), оно противоположно направлению вращения основания. О той

роли, которую при таких течениях играет трение жидкости о поверхность основания, будет сказано в следующем параграфе.

Выше мы предполагали, что высота слоя жидкости над основанием везде одинакова. Если же вследствие неровности или наклона основания высота изменяется, но постепенно, то из теоремы Гельмгольца следует, что вертикальная составляющая вектора вращения частицы жидкости, измеренная в неподвижной системе отсчета, изменяется вдоль линии тока пропорционально Предположение о постепенном изменении высоты необходимо, так как только при соблюдении этого условия (и одновременно при отсутствии трения!) горизонтальная скорость течения будет одинакова во всех точках каждой вертикали. Пусть, например, на ровной местности имеется пологое возвышение высотой и пусть слой жидкости постоянной плотности, движущейся над местностью, имеет толщину Но. Если скорость течения жидкости во вращающейся системе отсчета постоянна по величине и направлению, то угловая скорость текущей жидкости относительно вращающегося основания равна

следовательно, абсолютная угловая скорость будет

т. е. она равна угловой скорости вращающегося основания. Согласно сказанному выше, если только не учитывать небольших изменений высоты уровня, угловая скорость вращения над возвышением будет

следовательно, угловая скорость относительного вращения равна

Это означает, в соответствии с изложенным выше, что над возвышенном возникает, во-первых, повышение давления и, во-вторых, циркуляционное течение, направленное по часовой стрелке в северном полушарии и против часовой стрелки — в южном полушарии. В атмосфере, где вместо свободной поверхности имеется постепенное понижение плотности, происходит сходное явление, отличающееся от описанного только в количественном отношении (см. § 14, п. с). Такого рода повышение давления наблюдается в действительности над местностями, расположенными высоко над уровнем моря.

Ветер, дующий поперек длинной горной цепи (рис. 288), отклоняется в северном полушарии вправо. Пусть горная цепь простирается в направлении оси у (перпендикулярной к плоскости рис. 288) и пусть до горной цепи

горизонтальные составляющие скорости ветра равны соответственно

В таком случае и поэтому из соотношения

мы имеем:

Рис. 288. Обтекание гребня горы

Интегрируя от до мы получим:

где есть площадь поперечного сечения через горную цепь, ограниченная слева и справа абсциссами Отсюда следует, что тангенс угла отклонения потока равен

т. е. отклонение тем больше, чем меньше составляющая скорости течения перпендикулярная к горной цепи. Поэтому в морях, где течения значительно медленнее, чем ветры на поверхности Земли, отклоняющее действие длинных возвышенностей значительно сильнее, чем в атмосфере.

Отклоняющее действие длинной возвышенности (горной цепи) можно вычислить также иным путем, а именно, исходя из распределения давления. Над плоской местностью, согласно предыдущему, мы имеем:

Над гребнем возвышенности вследствие неразрывности потока скорость равна

Величина должна иметь здесь такое же значение, как и до возвышенности.

В самом деле, вследствие того, что условия притекаиия одинаковы для всех у, должны быть одинаковы для всех у и разности давлений в направлении х. Следовательно, увеличение кориолисовой силы над гребнем, где скорость и больше, чем до возвышенности, должно компенсироваться ускорением в направлении у. Выполняя вычисления, мы получим:

т. е. тот же результат, что и прежде.

с) Весьма своеобразно ведет себя жидкость, первоначально покоившаяся относительно вращающегося горизонтального основания, но затем получившая вследствие каких-либо внешних воздействий некоторое перемещение. Для того чтобы выяснить, какое при этом возникает движение, рассмотрим горизонтальную жидкую линию и применим к ней, для ее абсолютного движения, теорему Томсона (стр. 82). Для жидкости, покоящейся относительно вращающейся системы отсчета, абсолютным движение будет жесткое вращение с угловой скоростью из, следовательно, циркуляция в абсолютном движении, согласно формуле (32) гл. I (стр. 86), равна

где есть площадь, ограниченная жидкой линией. Циркуляция во вращающейся системе отсчета в случае относительного покоя жидкости, очевидно, равна нулю. Пусть в результате внешнего воздействия жидкая линия деформируется так, что ограниченная ею площадь делается равной Абсолютная циркуляция остается при этом, согласно теореме Томсона, по-прежнему равной относительная же циркуляция уменьшается на величину следовательно, делается равной

Изменение площади, ограниченной жидкой линией, может быть вызвано, например, изменением высоты столба жидкости, а также притоком или оттоком жидкости из области, окруженной жидкой линией. Если площадь, ограниченная жидкой линией, уменьшается, то возникает относительная циркуляция с таким же направлением, как у из; наоборот, если эта площадь увеличивается, то возникает относительная циркуляция с направлением, противоположным направлению из. Первая циркуляция называется циклоналъной, а вторая — антициклокалъной.

Вследствие циркуляционного движения, линейные скорости которого направлены перпендикулярно к радиусу вращения, возникают кориолисовы силы. Легко видеть, что при циклональной циркуляции эти силы направлены наружу от центра вращения, а при антициклональной циркуляции — к центру вращения, следовательно, в первом случае они вызывают в области циркуляции понижение давления, а во втором случае, наоборот, повышение давления (см. также Таким образом, кориолисовы силы всегда препятствуют изменению поперечного сечения циркулирующей массы жидкости, иными словами, они обеспечивают динамическую устойчивость циркулирующей массы жидкости совершенно так же, как силы упругости обеспечивают упругую устойчивость.

В случае плоского движения, начинающегося из состояния покоя относительно вращающегося основания, всегда следовательно, т. е. относительное течение, возникающее из состояния покоя, всегда является потенциальным течением. Если в области возмущения движения происходит отток или приток жидкости, то вне области возмущения возникает потенциальное движение с циркуляцией. Пусть область возмущения ограничена окружностью радиуса и пусть в результате возмущения радиус изменяется на величину тогда циркуляция относительного движения приближенно будет равна

С другой стороны, если есть окружная скорость циркуляционного движения, происходящего в ту же сторону, в какую происходит вращение (т.е. в северном полушарии против движения часовой стрелки), то

Сравнивая оба выражения для мы получим

Следовательно, кориолисова сила вызывает в радиальном направлении изменение давления

При положительном будет происходить понижение давления, а при отрицательном наоборот, — повышение давления. Боковое перемещение области возмущения, при котором площадь не изменяется, вызывает обычное потенциальное течение, поэтому такое перемещение не влечет за собой появления какого-либо поля скоростей или поля давлений.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление