Главная > Разное > Гидроаэромеханика (Прандтль Л.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Равновесие весомой жидкости.

Действие поля силы тяжести на какую-нибудь массу то состоит в том, что эта масса испытывает силу притяжения к центру Земли, равную где есть ускорение свободного падения; в средних широтах величина равна круглым числом Сила называется весом массы то.

Так как измерение количества жидкости часто производится по объему, то для массы единицы объема целесообразно ввести особое наименование: ее называют плотностью и обозначают через Следовательно, если некоторое количество жидкости занимает объем V и имеет плотность то масса этого количества жидкости равна а вес равен Произведение есть не что иное, как вес единицы объема; часто, особенно в технической литературе, оно обозначается одной буквой и называется удельным или объемным весом. Численное значение удельного веса зависит от выбора основных единиц для длины и силы; если последние измерять соответственно в метрах и килограммах, то удельным весом, например, воды будет

Так как напряженность притяжения Земли в разных пунктах Земли не совсем одинакова, то величина удельного веса также изменяется при переходе от одного места к другому. Поэтому физики в своих расчетах предпочитают пользоваться вместо удельного веса плотностью,

величина которой не зависти от напряженности Земли. Однако в гидростатических расчетах удобно иметь дело с удельным весом 7.

Основной задачей гидростатики, т. е. учения о равновесии весомых жидкостей, является вычисление распределения давления («поля давления») в однородной весомой жидкости.

Опять выделим в жидкости небольшую призму, причем сначала с горизонтальной осью (рис. 6), и рассмотрим ее равновесие относительно перемещений в направлении оси. Так как ось призмы перпендикулярна к вертикали, т.е. к направлению силы тяжести, то вес призмы не дает составляющей в направлении оси призмы. Поэтому мы можем в рассматриваемом случае повторить все рассуждения § 4 и по-прежнему найдем, что

т. е. давление на обоих концах призмы одинаковое. Применяя этот результат к произвольной последовательности примыкающих друг к другу призм с горизонтальной осью, мы найдем, что давление весомой жидкости во всех точках одной и той же горизонтальной плоскости одинаковое.

Рис. 8. Равновесие призмы с вертикальной осью

Для того чтобы найти связь между давлениями весомой жидкости в различных горизонтальных плоскостях, выделим в жидкости призму или цилиндр с вертикальной осью (рис. 8) и рассмотрим равновесие взятого тела относительно перемещений в направлении его оси. Теперь вес цилиндра оказывает существенное влияние на его равновесие. На верхнее основание цилиндра действует сила давления направленная вниз, а на нижнее основание — сила давления направленная вверх. Кроме того, на массу цилиндра действует сила тяжести направленная вниз. Следовательно, для равновесия цилиндра необходимо, чтобы

откуда следует, что

Таким образом, разность между давлениями на взятых горизонтальных плоскостях, находящихся друг от друга на расстоянии равна весу вертикального столба жидкости, заключенного между этими плоскостями и имеющего поперечное сечение с площадью, равной единице.

Применяя этот результат к ряду примыкающих друг к другу вертикальных призм, мы найдем, что давление в весомой жидкости возрастает с увеличением глубины, причем увеличению глубины на единицу длины соответствует увеличение давления на величину . Давление в каждой горизонтальной плоскости остается постоянным.

Введем прямоугольную систему координат и направим ось z вертикально вверх. Тогда, если давление в горизонтальной плоскости обозначить через давление в каком-нибудь другом месте будет равно

Из принципа отвердевания (§ 4) следует, что соотношение (7) справедливо не только для больших пространств, сплошь наполненных жидкостью, но также для сообщающихся сосудов, для любой системы труб, для пор между зернами грунта и т. д. Необходимыми условиями для применения уравнения (7) являются однородность и равновесие жидкости, а также связность занимаемого ею объема.

Рис. 9. Равновесие двух призм с вертикальной осью в неоднородной жидкости

Если жидкость неоднородная, например, вследствие неодинаковой температуры или разного содержания соли в разных местах жидкости, то все рассуждения относительно призмы с горизонтальной осью могут быть повторены без всяких изменений. Следовательно, в неоднородной весомой жидкости при равновесии давление во всех точках каждой горизонтальной плоскости одинаковое. Для выяснения условия равновесия в вертикальном направлении проведем в жидкости две горизонтальные плоскости на небольшом расстоянии друг от друга (рис. 9). Пусть на верхней плоскости давление равно а на нижней — Выделим между проведенными плоскостями две узкие вертикальные призмы. Пусть средний удельный вес жидкости в левой призме равен , а в правой призме — . Для равновесия необходимо, чтобы слева соблюдалось равенство

а справа — равенство

Оба эти требования совместимы друг с другом только в том случае, если В противном случае равновесие не могло бы установиться,

и жидкость пришла бы в движение. Мы можем уточнить чаши рассуждения, если возьмем расстояние между плоскостями очень малым и повторим рассуждения для любого большого числа пар соседних горизонтальных плоскостей. Таким путем мы придем к выводу: в неоднородной весомой жидкости равновесие возможно только в том случае, если в каждом горизонтальном слое плотность везде постоянная. Отсюда, в частности, следует, что при равновесии двух наслоенных друг на друга и между собой не смешивающихся жидкостей различной плотности поверхностью раздела может быть только горизонтальная плоскость. Это следствие можно вывести и непосредственно из наших рассуждений, относящихся к рис. 9. В самом деле, предположив сначала, что поверхность раздела обеих однородных жидкостей, наслоенных друг на друга, проходит произвольным образом между проведенными на рис. 9 горизонтальными плоскостями, мы увидим, что равновесие возможно только в том случае, если поверхность раздела расположена горизонтально.

Заметим, что для устойчивости такого наслоения жидкостей необходимо, чтобы менее плотная жидкость была расположена обязательно над более плотной. При обратном расположении равновесие будет неустойчивым: малейшее возмущение немедленно приводит к опрокидыванию слоев. Для доказательства можно опять воспользоваться рис. 9. Возьмем какое-нибудь возмущенное, например, несколько наклоненное, положение поверхности раздела между обеими горизонтальными плоскостями и вычислим разности давлений, возникающие при таком возмущении. Мы увидим, что при устойчивом расположении слоев эти разности давлений стремятся уменьшить наклон поверхности раздела, а при неустойчивом расположении они стремятся, наоборот, увеличить этот наклон.

Если плотность жидкости изменяется непрерывно, то устойчивое равновесие по-прежнему будет иметь место в том случае, когда плотность везде уменьшается снизу вверх. Равновесие однородной жидкости в отличие от равновесия расслоенной неоднородной жидкости всегда является безразличным. В самом деле, как бы ни перемещать любые части однородной жидкости, находящейся в равновесии, возмущающие силы, нарушающие равновесие, возникать не будут.

Что касается распределения давления в неоднородной жидкости, то для каждого слоя, в котором плотность можно считать приближенно одинаковой, имеет место уравнение (7) в диференциальной форме:

Если удельный вес 7 задан как функция высоты z, то интегрирование уравнения (8) приводит к соотношению:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление