Главная > Разное > Гидроаэромеханика (Прандтль Л.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Распределение давления в невесомой жидкости.

Каждая жидкость обладает весом. Однако во многих случаях, особенно когда в жидкости имеет место высокое давление, нет никакой нужды учитывать действие силы тяжести, следовательно, в этих случаях можно

Рис. 6. Равновесие призмы с горизонтальной осью

считать жидкость невесомой. При таком допущении все расчеты значительно упрощаются. Выделим в жидкости длинную узкую призму с основаниями, перпендикулярными к оси призмы (рис. 6), и рассмотрим ее равновесие относительно перемещений вдоль оси. Предположим сначала, что давление в жидкости изменяется при переходе от одной точки пространства к другой. Поперечное сечение призмы возьмем настолько малым, что изменением давления на его площади можно пренебречь. Если на одном конце призмы имеет место давление а на другом конце — давление то на первое основание призмы действует сила параллельная оси призмы, а на второе основание — сила также параллельная оси призмы, но противоположная силе Что касается боковых поверхностей призмы, то все силы давления, действующие на эти поверхности, направлены, согласно нашему основному допущению, перпендикулярно к ним, следовательно, перпендикулярно и к оси призмы. Поэтому, каково бы ни было распределение давления на боковых поверхностях, силы давления, действующие на них, не дают составляющих в направлении оси призмы. Таким образом, для равновесия призмы необходимо, чтобы

откуда

Так как положение призмы внутри жидкости было выбрано нами совершенно произвольно, то из полученного результата следует, что при отсутствии силы веса (и других подобного рода активных сил) давление во всех точках жидкости одинаково.

Если жидкость заполняет узкое и извилистое пространство и поэтому невозможно выделить призму между двумя произвольными точками жидкости, то для доказательства равенства давления во всех точках жидкости можно поступить следующим образом. Сначала возьмем две близкие между собой точки 1 и 2, затем от точки 2 перейдем в другом направлении к точке 3 и т.д., пока не дойдем до требуемой конечной точки Тогда из равенств

мы получим опять, что

Другое, более изящное доказательство основано на принципе отвердевания (§ 2). Поместим мысленно наш узкий и извилистый сосуд в другой сосуд большего объема и наполним последний жидкостью. Затем, после того как установится равновесие, вообразим, что в большом сосуде отвердела вся жидкость, кроме той, которая занимает первоначально заданное узкое и извилистое пространство. От этого, согласно принципу отвердевания, равновесие не изменится, следовательно, в невесомой жидкости, заполняющей любое узкое и извилистое пространство, давление при равновесии везде одинаково.

Если жидкость заполняет очень узкое пространство, то после изменения давления жидкости, например, вследствие внешней нагрузки, может пройти весьма значительное время, прежде чем установится равновесие. В пластичной горшечной глине, состоящей из очень мелких твердых частиц, промежутки между которыми заполнены водой, указанное время измеряется целыми днями, а в пластах глины в почве — даже целыми годами. В течение этого времени вода перетекает из мест с более высоким давлением в места с более низким давлением.

Итак, мы установили, что в жидкости, находящейся в равновесии, давление во всех точках направлено перпендикулярно к поверхности, на которую оно действует, и — при отсутствии силы тяжести и других массовых сил — везде и во всех направлениях одинаково.

Рис. 7

Все сказанное относительно давления внутри жидкости применимо и к давлению на стенки сосуда, заключающего жидкость. Для того чтобы в этом убедиться, проведем внутри жидкости вплотную около стенки или на небольшом расстоянии от нее плоское сечение и построим на этом сечении небольшой цилиндр с образующей, перпендикулярной к сечению (рис. 7). Из равновесия цилиндра следует, что на участок стенки в направлении, перпендикулярном к проведенному сечению, действует сила равная При таком рассуждении, как легко видеть, неровности стенки, даже большие, не влияют на полученный результат.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление