Главная > Физика > Динамика частиц в фазовом пространстве
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Циклотронное резонансное взаимодействие в ловушках с магнитными пробками.

Результаты теории возмущений. В поле ловушки с магнитными пробками частица совершает продольные колебания, в результате чего она пересекаетобласти с различными напряженностями магнитного поля и, следовательно, может оказаться в резонансе. При этих условиях не очевидно, может ли происходить непрерывный нагрев, а аналитическое решение этой проблемы получить невозможно. Используя гамильтоновский формализм, Зейдель [53] смог оценить приближенно первые интегралы уравнений движения, которые неявно содержали изменение энергии и давали фазовые траектории. Из фазовых траекторий можно получить отклонения энергии. Из результатов следовало, что, за исключением узкой резонансной области очень маленьких продольных колебаний, отклонения энергии ограничены и существует стабильный продолжительный период колебания энергии, которому в фазовом пространстве соответствует замкнутая кривая. Решение является приближенным. Оно было проверено Тумой и Лихтенбергом [66] численным интегрированием уравнений движения. Оказалось, что результаты находятся в хорошем согласии. Методы и результаты Зейделя приведены в этом разделе. Далее будет дана проверка этой работы и численно оценены границы адиабатического поведения.

Мы получили приближенные решения для движения частицы в зеркальных полях, обладающих круговой симметрией. Метод включал преобразование гамильтониана движения к набору переменных,

в которых гамильтониан цикличен по координатам. Следовательног соответствующие импульсы являются интегралами движения и движение описывается через них. Решение естественным образом выражается через переменные угол—действие, пропорциональные магнитному моменту, продольному действию и потоку, пронизывающему дрейфовую орбиту. Если теперь добавить высокочастотное поле, например моду то векторный потенциал можно записать в виде

Прибавляя этот векторный потенциал к гамильтониану (5.106) и подставляя значение постоянного векторного потенциала, полученное для магнитного поля (5.114), имеем

После преобразования к переменным угол—действие получаем

где определяется выражением (5.119), параметр разложения и

Рассмотрим решения в окрестности резонанса Если взять» разность

то получим, что координата изменяется со временем медленно. Возмущение можно разложить в ряд Фурье по продольной переменной Разлагая и усредняя по продольному периоду, Зейдель получил следующие результаты. В первом порядке по возмущающий гамильтониан может быть заменен его средним заменен после чего гамильтониан приобретает вид

который сводится к

где

Здесь функция Бесселя первого рода. Из (5.151) видим, что больше не будет независимым от и, следовательно, не будет интегралом движения. Гамильтониан (5.150) определяет новый интеграл движения, так что изменяется в течение некоторого отрезка времени, значительно большего времени усреднения, тем самым определяя в -пространстве (индекс для удобства опущен) кривые, не зависящие от времени. При некоторых значениях параметров кривые замкнуты и представляют осцилляторное движение.

Исследуем теперь изменения в зависимости от для двух случаев.

1. Если очень мало, то частицы движутся в практически однородном поле с циклотронной частотой, которая при равна Если положить в выражении то первый член гамильтониана станет равным нулю, и мы ожидаем сильную зависимость от если третий член больше второго или если считать, что Это приведет к критическому значению если будет сильно влиять на Выбрав достаточно большое значение Зейдель вычислил фазовую траекторию (рис. 5.18). Может иметь место резонансное увеличение Оно аналогично резонансному увеличению энергии при циклотронном резонансе в постоянном поле, за исключением того, что здесь требуется минимальное значение ускоряющего поля. Эти две ситуации идентичны в пределе т. е. в резонансной средней плоскости. Заметим еще, что должен иметь минимальные начальные значения, что можно проверить, положив в Нули соответствуют тем значениям переменных действия, для которых среднее ускорение в течение одного продольного колебания равно нулю.

2. Для больших частицы, как правило, не могут захватиться на резонансные орбиты. Однако, если рассмотреть частицы, средняя циклотронная частота которых равна приложенной частоте, для нескольких продольных периодов имеет место приращение энергии, хотя для больших времен энергия осциллирует. Это проиллюстрировано на рис. 5.19 вычислениями Зейделя. Результат напоминает движение частиц в ускорителе (см. § 4.2), в котором на стационарные орбиты захватываются только частицы, движущиеся приблизительно со скоростью волны, тогда как другие либо опережают их, либо отстают. Здесь в условие синхронизма входит вместо скорости волны средняя циклотронная частота.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление