Главная > Физика > Динамика частиц в фазовом пространстве
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Неадиабатическое изменение поля.

Если магнитное поле быстро изменяется за время, сравнимое с ларморовским периодом, то магнитный момент не будет интегралом движения. В § 3.2 уже рассмотрено воздействие резкого изменения параметров на интеграл действия в случае одномерного осциллятора. Здесь же ситуация несколько отличается тем, что, по сути дела, имеется пара связанных осцилляторов, движение которой может быть проанализировано как движение одиночного осциллятора во вращающейся системе отсчета [см. уравнения (5.25) и (5.30)]. При скачкообразном изменении величины поля изменяются как частота колебания, так и частота вращения системы отсчета. Таким образом, неадиабатическая задача — это задача с двумя степенями свободы. Однако мы увидим, что

в частном случае симметричной системы, в которой канонический угловой момент равен нулю, при скачке средние изменения действия у обеих систем одинаковы.

Рассмотрим сначала магнитное поле, величина которого в некоторый момент изменяется скачком. Пусть этот скачок происходит в момент времени Уравнение (5.28) можно проинтегрировать в каждом временном интервале постоянства магнитного поля. Получаем

где переменная не изменяется мгновенно при изменении циклотронной частоты от при до при Уравнение (5.40а) имеет решение

где очевидно, — радиус вращения, комплексная постоянная, зависящая от выбора начала координат системы отсчета и начальных условий в магнитном поле. Дифференцируя (5.41) и подставляя в (5.40а), найдем постоянную интегрирования

Затем вычислим значение после скачка. Из уравнения (5.406) после несложных преобразований получим

где — угол между для Дифференцируя (5.41), получаем для

Магнитные моменты до и после скачка определяются формулой (5.33) после соответствующей подстановки в нее соотношений (5.43) и (5.42). Чтобы получить среднее изменение магнитного момента для всех фаз в момент скачка, усредним (5.42) по и возьмем отношение "усредненного значения (5.42) к (5.43)

Этот результат получили Хертвек и Шлютер [29]. Рассмотрим частный случай инжекции с нулевым угловым моментом внутрь аксиально-симметричной системы. Мы видели в § 3.3, что В этом случае вращение совершенно эквивалентно одномерному осциллятору (см. § 3.2), а формула (5.44) дает такое же значение

для среднего изменения в действии при скачке, какое мы получаем, усредняя член в скобках в формуле (3.35) по фазам колебаний в точке скачка. Действительно, замечая, что при постоянной массе, и усредняя выражение (3.35), получаем

Это идентично значению которое можно получить из формулы (5.44), положив в ней

Для медленных изменений магнитного поля величина была вычислена Хертвеком и Шлютером [29] и несколько отличным способом Чандрасекаром и Треханом [11]. Этот метод аналогичен методу, изложенному в § 2.2 для гармонического осциллятора, а результат аналогичен усредненному выражению (2.46). Для и изменения по закону

согласно которому изменяется от постоянного значения при до при Хертвек и Шлютер аналитически вычислили для случаев быстрого и медленного изменений и сравнили результаты с численными расчетами (рис. 5.3). Эти результаты показывают, как мы уже видели в § 4.4, что адиабатическое приближение является хорошим, даже если параметры существенно изменяются за период колебания. Однако выбор соответствует специальной фазе или частице, вращающейся симметрично относительно магнитной оси.

Хотя на определение среднего изменения затрачено много времени, трудно найти точное физическое приложение этому результату. При однократном прохождении частицы через неадиабатическую область в каждой фазе циклотронного колебания происходят различные изменения в (исключая особый случай движения, охватывающего ось симметрии), так что после скачка значения у будут иметь некоторый разброс, соответствующий заполнению эффективной площади фазового пространства. Если отдельная частица многократно пересекает неадиабатическую область, то картина становится значительно более сложной (см. § 3.3 и 3.4).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление