Главная > Физика > Динамика частиц в фазовом пространстве
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Эквивалентность вращательного движения гармоническому осциллятору.

Мы видели, что в нулевом приближении вращательное движение эквивалентно осциллятору с одной степенью свободы. Действительно, если магнитное поле однородно в пространстве, то вращательное движение эквивалентно гармоническому осциллятору, и магнитный момент является адиабатическим интегралом во всех порядках асимптотического разложения. Но если силовые линии искривлены, то, исключая нулевое приближение, собственно адиабатический инвариант отличается от магнитного момента. Мы обсудим это ниже, а в § 5.2 вычислим разность в первом приближении для дипольного поля. Следуя работе [11], покажем эквивалентность вращательного движения гармоническому осциллятору в случае, когда магнитное поле меняется со временем, но однородно в пространстве:

где z - единичный вектор в z-направлении. В уравнение движения

подставим значение из уравнений Максвелла для случая, когда пространственный заряд отсутствует:

Получим

где обычная циклотронная частота Вращение в плоскости описывается двумя уравнениями, которые имеют вид:

Комбинируем (5.26) и (5.27) так, чтобы можно было ввести комплексную переменную (как и в § 3.3). В результате получим

Как и в предыдущем случае с постоянной со, уравнение (5.28) описывает два движения: колебание модуля и вращение с частотой, равной половине циклотронной частоты. Можно свести движение к чисто колебательному введением новой переменной в системе отсчета, вращающейся с ларморовской частотой

Подставляя переменную (5.29) и ее первую и вторую производные в (5.28), получаем

Уравнение (5.30) в точности совпадает с уравнением гармонического осциллятора, для которого уже разработана асимптотическая теория адиабатического изменения параметров в § 1.4 (для первого порядка) и в § 2.1 (для всех порядков). Теперь, используя теорию для первого порядка, покажем, что адиабатическое изменение параметра предполагает постоянство магнитного момента (например, см. [11]). Однако, поскольку решения корректны лишь асимптотически и, как мы видели, ряд обычно расходится при включении нескольких членов, рассмотрим только решения первого порядка. По этой причине Чандрасекар также подверг критике разложение для порядков.

Ранее уже было найдено [см. (1.45)], что в первом приближении

далее, если предположить, что начальные и конечные значения вычислены в области, где то

Найдем выражение для , где означает комплексно-сопряженную величину, Таким образом, получаем выражение

которое фактически повторяет результат для первого порядка (см. § 2.1). Дифференцируя (5.29), находим, что а это позволяет непосредственно отождествить с поскольку

Распространяя более общий результат § 2.1 на этот случай, можно сделать вывод, что асимптотически является адиабатическим интегралом во всех порядках.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление