Главная > Физика > Динамика частиц в фазовом пространстве
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Фазовая группировка.

Рассмотрим задачу согласования по фазе ионного источника с линейным ускорителем. Если считать, что параметры линейного ускорителя, управляющие движением частиц, изменяются медленно со временем, то для движения частиц около равновесной фазы можно написать гамильтониан [21]

где

здесь потенциал, в котором движутся частицы; равновесная фаза. Формула (3.76) будет получена в § 4.2. Гамильтониан определяется начальными значениями фазы и импульса Потенциал и фазовая диаграмма — такие же, как на рис. 3.1. На рис. 3.14 они повторены вместе с синусоидальным электрическим полем. Поле скорость равновесной частицы и продольная масса считаются постоянными. Каноническая пространственная координата для колебательного движения имеет вид

Наши переменные можно заменить на более удобные с помощью преобразования справедливого для малых колебаний. Здесь отклонение энергии от энергии равновесной частицы, а считаем строго постоянной.

Рис. 3.14. (см. скан) Поле (а), потенциал (б) и фазовая диаграмма (в) для группирующей секции линейного ускорителя.

Если то и также образуют каноническую пару. Если также считать постоянной, то можно заменить символом

измеримые величины, они используются в последующем анализе как канонические переменные.

Проиллюстрируем операцию согласования на примере согласующей системы, состоящей из простого ВЧ резонатора, за которым следует пространство дрейфа. Будем считать, что синусоидальная модуляция напряжения мала, тогда система линза — дрейф имеет хорошо известную из теории клистрона группирующую характеристику [5]

где группирующий параметр X для релятивистского движения задан выражением

а равновесная фаза равна Здесь — частота ВЧ напряжения резонатора; длина дрейфа; постоянная составляющая скорости; — постоянная составляющая напряжения; амплитуда ВЧ напряжения; полная энергия; энергия покоя; соответственно фазы на входе и выходе группирующего резонатора. Если ВЧ резонатор и линейный ускоритель синхронизированы по фазе, то можно так подобрать фазу, чтобы разность фаз соответствовала равновесной фазе в ускорителе. На рис. 3.15 мы построили, используя (3.77), группирующие кривые для двух значений X на «группирующей диаграмме», которая связывает На этом же рисунке внизу построено эмиттансное фазовое пространство и справа — аксептансное фазовое пространство. Аксептансное фазовое пространство соответствует линиям постоянного гамильтониана, построенного по формуле (3.76), на рис. 3.14. На обеих диаграммах кривые и соответствующие гамильтониану частицы на границе области устойчивости одинаковы. Другие же кривые постоянного гамильтониана не соответствуют друг другу. Предполагается, что приращения импульса в эмиттансном фазовом пространстве создаются группирующим ВЧ напряжением (эмиттансная фазовая площадь пренебрежимо мала). Для определенности берем определяя параметр а формулой

получаем Отметим, что эмиттансное и аксептансное фазовые пространства связаны группирующей диаграммой, абсциссой которой является фаза эмиттанса, а ординатой — фаза аксептанса. Чтобы определить, какие частицы будут усвоены линейным ускорителем, а какие нет, можно поступить следующим образом: либо, исходя из группирующей диаграммы, построить эмиттанс на фазовой плоскости аксептанса (пунктирные линии на плоскости-аксептанса), либо построить кривые постоянного гамильтониана на группирующей диаграмме, исходя из аксептанса (пунктирные

линии на группирующей диаграмме). Первый способ, примененный Тейлором [25], дает обычное преобразование эмиттансного фазового пространства в аксептансную фазовую плоскость. Связь между энергией и фазой эмиттанса становится очевидной, что нельзя сказать о распределении плотности. Во втором методе можно непосредственно определить, какая часть эмиттанса ограничивается каждой кривой постоянного гамильтониана, однако информация об импульсе становится неопределенной.

Рис. 3.15. Связь между эмиттансиым и аксептансным фазовыми пространствами для частиц, группируемых с помощью одиорезонаторного предгруппирователя.

Уравнения для преобразования кривых постоянного гамильтониана от аксептансной диаграммы к группирующей диаграмме были получены Лихтенбергом [15]. Здесь они не разбираются. После того как преобразование выполнено, для получения плотности частиц можно применить радиальную переменную Построив число частиц между любыми двумя линиями постоянного гамильтониана, получим график распределения плотности частиц Каждый радиус соответствует максимальной протяженности по фазе поэтому можно построить распределение плотности по фазе На рис. 3.16 построена функция для группирующей линии Бесконечное значение плотности имеет место при таких значениях при которых соответст. вующий гамильтониан является касательным к группирующей

кривой. Очевидно, что группирующая кривая должна быть выбрана так, чтобы стационарные точки лежали внутри предельного гамильтониана.

Для электронного линейного ускорителя (аксептанс) много больше поэтому изменением энергии, которое вносит фазовый группирователь, можно пренебречь. В этом случае и границами аксептанса на группирующей диаграмме будут горизонтальные линии. Эмиттанс принимает максимальное значение, когда стационарные точки на группирующей кривой точно касаются границ аксептанса. Если аксептанс при нулевом разбросе энергии и группирователь синхронизирован по фазе, так что экстремумы группирующей кривой имеют место при значениях то может быть найдено значение группирующего параметра X, которое максимизирует аксептанс. Дифференцируя (3.77), получаем соотношение между для стационарных точек

Рис. 3.16. Распределение относительной плотности усвоенных частиц, усредненное по фазам осцилляций.

Подставив полученное выражение в (3.77) и потребовав, чтобы для стационарных точек, получим уравнение

которое можно разрешить относительно значения фазы на входе для стационарных точек Далее из уравнения (3.78) можно определить группирующий параметр На рис. 3.17 представлен параметр X как функция для предельного случая, когда Построим также приближенные значения X для когда аксептансное фазовое пространство аппроксимируется эллипсом. На рис. 3.18 для тех же а показана зависимость относительной концентрации эмиттансных частиц от полученная в предположении, что частицы распределены равномерно при всех входных фазах. На практике обычно выбирают X более постоянным, так что области высокой плотности (стационарные точки на группирующей кривой) лежат внутри границ аксептанса.

Метод нахождения концентрации частиц, которые группируются внутри любого угла выходной фазы, можно легко обобщить с тем, чтобы включить влияние более высоких гармоник пилообразного напряжения. Более высокие гармоники могут быть получены с помощью близко расположенных резонаторов или с помощью индуктивной настройки второго резонатора, который сильно возбуждается

пучком первого. В группирующем резонаторе можно добиться как группировки, так и ускорения частиц. Однако при этом неизбежно уменьшение степени группировки. Систему ускоритель группирователь рассмотрел Колман [1].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление