Главная > Физика > Динамика частиц в фазовом пространстве
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Адиабатическое разделение переменных.

В § 1.2 показано, что для гамильтоновой системы существует инвариант движения

где контур интегрирования — любая замкнутая кривая в фазовом пространстве. Для медленно изменяющегося имеется адиабатический инвариант

В § 2.2 для вычисления необходимо было проводить интегрирование в области, в которой контур интегрирования — замкнутая кривая. Теперь ослабим это ограничение. Будем считать, что кривая замкнута только асимптотически. Мы показали, что представляет такую кривую; используя переменные (2.70), имеем

где и функции новых переменных Далее, если мы сможем показать, что переменные типа угол — действие, то уравнения Гамильтона после преобразования к новым переменным

примут вид

где параметр. Здесь число степеней свободы уменьшено на единицу. Крускал доказал каноническую природу показав, что скобки Пуассона

Действительно,

Если одна из координат одна из координат и все переменные считаются независимыми, то останется только член, для которого так что

Доказательство соотношения (2.81) в случае, когда задано уравнением (2.79), довольно сложно, однако форма равенства (2.79) подсказывает нам, что интеграл движения. Действительно, из существования интеграла движения У, вытекают уравнения (2.80). Тем самым число степеней свободы Есегда можно уменьшить на единицу. Уравнение (2.81) позволяет уменьшить количество переменных, поскольку оно связывает две переменные.

Полное преобразование, позволяющее получить переменную действия, а также обратные преобразования, которые дают инварианты как функции исходных переменных, очень сложны. Более простые алгоритмы разложения были предложены Макнамарой и Вайтманом [20], которые показали, что их метод эквивалентен методу Крускала. В методе Макнамары и Вайтмана переменные у выбраны так, чтобы одна из переменных у была канонической при записи через переменные угол — действие. В нулевом порядке метод дает явный вид интеграла движения, который приводит к уменьшенной системе уравнений Гамильтона (2.80). При использовании метода Крускала более высокие порядки у, так же как и следует вычислять из асимптотических выражений.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление