Главная > Физика > Классические поля
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. ОБЩИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА

Выше в § 1 были введены -векторы пространства Мииковского, объединяющие время и пространственные координаты:

Остановимся более подробно на описании пространства этих векторов. Запишем вектор в базисе

где -базис пространства Минковского. Квадрат вектора равняется

или коротко

где введенный в § 1 метрический тензор

Отсюда следует, что псевдоортогональный базис.

Зададим линейное преобразование в пространстве координат

где матрица 4X4:

Закон (1.3.4) определяет преобразование компонент вектора Если вектор то одновременно с компонентами вектора преобразуется и базис. Действительно,

Отсюда и, следовательно,

т. е. в этом случае базис преобразуется с помощью обратной: и транспонированной матрицы Наряду с -вектором координат существуют другие -векторы, а также объекты более сложной природы по отношению к преобразованиям

Контравариантный вектор это набор величии преобразующихся как компоненты вектора координат т. е.

Ковариантный вектор это набор величин преобразующихся как базис т. е.

Контравариантный тензор второго ранга преобразуется как произведение компонент т. е.

Ковариантный тензор второго ранга преобразуется как произведение т. е.

и т. д. Мы не останавливаемся здесь подробно на классификации ковариантных объектов тензорной, а также спинорной и более сложной структуры, отсылая читателя к соответствующей математической литературе.

Рассмотрим объект Тогда, используя определение (1.3.3), запишем

т. е. преобразуется как и является ковариантным вектором. Следовательно, с помощью метрического тензора (заметим, что можно опустить индексы и у контравариянтного вектора координат преобразуя его в ковариантный вектор

где

При этом Конкретизируем линейные преобразования в пространстве Минковского, наложив требование инвариантности длины -вектора, т. е. требование релятивистской инвариантности

Тогда, используя (1.3.4), запишем

Откуда следует

Умножим последнее равенство на и свернем по индексам о с учетом равенства

где единичная матрица. Тогда

т. е.

где матрица

представляет собой обратную по отношению к матрицу. Заметим, что операция свертывания матрицы с тензорами указанная с левой стороны последнего равенства, сводится к транспонированию матрицы и замене знаков у первой строки и первого столбца. Таким образом, свойство матрицы преобразования, оставляющего инвариантной длину вектора (1.3.8), состоит в том, что обратная матрица получается из исходной путем транспонирования и замены знаков элементов первой строки и первого столбца. Подобные матрицы называются псевдоортогональными. Очевидно, что определитель матрицы (1.3.10) совпадает с определителем матрицы Поэтому следовательно,

Рассмотрим равенство (1.3.9) в случае

или в явном виде

Отсюда следует неравенство или

Условия (1.3.11) и (1.3.12) определяют четыре совокупности преобразований, которые вместе образуют так называемые общие преобразования Лоренца. По отдельности эти совокупности таковы:

Как видно, лишь преобразование содержит в себе единицу, оно называется собственным преобразованием Лоренца. Этой совокупности преобразований, как легко видеть, принадлежит и введенное выше специальное преобразование Лоренца, сюда же относятся обыкновенные трехмерные ортогональные вращения. Все остальные совокупности преобразований единицы не содержат и являются несобственными преобразованиями. Любой элемент каждой из них не может быть непрерывным образом переведен в другую совокупность.

Рассмотрим примеры собственных и несобственных преобразований Лоренца.

1)

-это преобразование ортогональных вращений, принадлежит т. е.

2)

Это специальное преобразование Лоренца, введенное выше, заменой оно переводится в обратное.

3) , Это отражение координат и времени или операция — дискретная,

Это отражение координат или операция (инверсия), также дискретная операция, . Это операция отражения времени дискретная, Заметим, что если вектор времениподобен, т. е. то преобразования из совокупностей и т. е. отвечающие не изменяют знак временной компоненты, и поэтому называются ортохронными. Рассмотрим пример специальных преобразований. Пусть тогда

В силу условия имеем . В данном примере Поэтому знак определяется знаком Таким образом, для специального преобразования Лоренца утверждение доказано. Можно показать, что все остальные преобразования получаются из специального применением соответствующих пространственных поворотов, которые не меняют, очевидно, знака временной компоненты. Преобразования же могут быть получены из соответствующих преобразований путем инверсии, что также не меняет знак времени. Таким образом, можно считать, что утверждение доказано в общем случае. Более строгое доказательство в самом общем виде предоставляем провести читателю (указание: необходимо определить знак с учетом неравенств и неравенства Коши — Буняковского).

Следует особо подчеркнуть, что как общие, так и собственные преобразования Лоренца образуют группу преобразований, т. е. группу Лоренца. Все элементы совокупности могут быть параметризованы непрерывно изменяющимися параметрами: три параметра для ортогональных вращений и три параметра для псевдоповоротов. Таким образом, собственная группа Лоренца — это шестипараметрическая группа непрерывных преобразований, или группа Ли. Очевидно, что подгруппа пространственных вращений также является группой Ли. Для бесконечно малых, или инфинитезимальных, преобразований имеем

где генераторы группы, малые изменения параметров Запишем условие (1.3.9):

Отсюда, приравнивая линейные члены, находим

т. е. матрица генераторов должна быть антисимметричной.

Заметим, что 6 генераторов X, можно нумеровать двумя индексами, так что

и тогда останется лишь шесть независимых генераторов и параметров отвечающих поворотам в плоскостях для для для и псевдоповоротам в плоскостях для для для

Хорошо известна формула Эйлера для инфинитезимальных поворотов вектора

или

где направление оси поворота, угол поворота, абсолютно антисимметричный единичный тензор, нормированный условием Следовательно, генераторы группы трехмерных вращений являющейся подгруппой собственной группы Лоренца, можно записать в виде

откуда очевидно, что Вводя вместо номера генератора двойную нумерацию, введенную выше, т. е. причем

можем переписать определение (1.3.16) в явном виде

Последнее равенство определяет генераторы подгруппы собственной группы Лоренца удовлетворяющие в общем случае условиям (1.3.13), (1.3.14). Очевидно, что ковариантным обобщением определения для генераторов будет равенство

Легко убедиться непосредственным вычислением в справедливости следующих коммутационных соотношений для генераторов группы

Это равенство следует понимать в операторном смысле, т. е. здесь генераторы операторы, которые могут быть заданы в произвольном представлении. В частности, это может быть представление (1.3.18) в виде матриц определенных в пространстве Минковского и действующих на соответствующие -векторы. Скаляры не преобразуются, поэтому для них, Очевидно, все генераторы равиы нулю. Еще одним нетривиальным

представлением является спинорное представление, однако здесь мы не будем на нем останавливаться. Подчеркнем, что при заданной параметризации групповых элементов вид коммутаторов, составленных из генераторов (так называемая алгебра Ли), не зависит от выбора конкретного представления.. Наряду с преобразованиями Лоренца векторы пространств» Минковского можно подвергнуть также преобразованию трансляции, а именно

где постоянный -вектор. Это преобразование представляет собой однородный сдвиг в направлении вектора векторном представлении генераторы трансляции могут быть найдены следующим образом:

т. е.

Очевидно, что трансляции образуют группу Ли, причем коммутативную, т. е. абелеву, группу:

групповое пространство которой, т. е. пространство параметров есть само пространство Минковского. Группа Лоренца вместе с группой трансляции образуют группу Пуанкаре.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление