Главная > Математика > Алгебра (Ван дер Варден Б.Л.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 93. Примеры алгебр

1. Важным примером алгебры является полное матричное кольцо состоящее из всех -строчных квадратных матриц с элементами из поля Эта алгебра имеет ранг В качестве базисных элементов можно выбрать матрицы в которых на пересечении строки и столбца стоит 1, а на остальных местах нули. Каждая матрица А с элементами представляется в виде суммы

в которой суммирование ведется по всем принимающим значения от 1 до Правила умножения для базисных элементов таковы:

2. Алгебра кватернионов. Пусть четырехмерное векторное пространство с базисными элементами Будем считать, что является единицей, т. е. Зададим далее равенства

где произвольные элементы поля и

Тогда

Получившаяся алгебра называется алгеброй обобщенных кватернионов. Ее элементы выглядят так:

Само собой разумеется, что элементы отождествляются; таким образом, поле оказывается вложенным в алгебру Норма произвольного элемента х определяется равенством

Если эта квадратичная форма представляет нуль (т. е. обращается в нуль на таких которые не равны нулю одновременно), то произведение может быть нулем при может обладать делителями нуля. Если же упомянутая форма не представляет нуля, то каждый обладает обратным:

и, следовательно, алгебра является телом.

Матричное представление алгебры обобщенных кватернионов получается тогда, когда рассматривается как двойной модуль, для которого служит областью левых, а областью правых мультипликаторов. Будем считать, что —а не является квадратом в поле тогда

— поле. Алгебра является двумерным векторным пространством над этим полем; в качестве базисных элементов можно взять, например, Векторы х представляются тогда так:

Если эти векторы х умножать справа на произвольный элемент у, то получится линейное преобразование векторного пространства , которое представляется некоторой матрицей. Эту матрицу мы также обозначим через Ее столбцы получатся, если умножить базисные элементы слева на у и результаты снова записать в виде (1). Если, в частности, в качестве у взять или I, то получатся матрицы

Если теперь выбрать то получатся гамильтоновы кватернионы

с правилами оперирования:

Если вещественное числовое поле, то в матричном представлении элемент можно заменить на мнимую единицу Тогда получится:

3. Если в качестве базисных элементов алгебры взять все элементы конечной группы то получится групповое кольцо этой конечной группы. Очевидно, здесь будет выполнен закон ассоциативности.

4. Грассманово внешнее умножение. Будем исходить из векторного пространства

и зададимся следующей целью: определить ассоциативное умножение векторов, для которого выполнялись бы правила:

Для этого чисто формально образуем сначала произведения базисных векторов в естественной последовательности

причем произведение пустого множества будет обозначаться через Эти произведений мы возьмем в качестве базисных элементов некоторого векторного пространства Тем самым, элементами пространства являются суммы

Теперь определим произвольные произведения

следующим образом. Если в (5) два индекса равны, то положим Если же все индексы различны, то некоторой перестановкой они приводятся в естественный порядок и мы полагаем

где для четной и -для нечетной упомянутой выше перестановки.

Наконец, произведение двух базисных элементов определяется равенством

Две суммы вида (4) перемножаются путем перемножения их слагаемых и последующего сложения результатов. Согласно этому определению произведение равно на самом деле

как утверждается в (5). Очевидно, правила (3) выполняются. Ассоциативность умножения легко доказать.

Суммы (4) с так определенным умножением составляют грассманову алгебру (или алгебру Грассмана) над векторным пространством само же умножение называется внешним. Векторное пространство вкладывается в алгебру В качестве знака для внешнего умножения элементов часто используют символ

Эквивалентное определение получается, когда из векторного пространства сначала строят тензорное кольцо, состоящее из всевозможных конечных сумм

в которых на индексы не накладывается никаких ограничений. Две такие суммы объявляются равными лишь тогда, когда равны (соответственно) все их коэффициенты. Как складывать такие суммы, понятно. Умножение же определяется равенством (6).

Легко увидеть, что сложение и умножение в тензорном кольце не зависят от выбора "базисных векторов.

Возьмем теперь в тензорном кольце двусторонний идеал 3, который порождается произведениями где и пробегает множество всех векторов пространства Идеалу 3 принадлежат также и элементы вида

Если каждой сумме (7) сопоставить ту же сумму в то получится гомоморфное отображение из на Элементы идеала 3 при этом отображении переходят в нуль. Обратно: если какая-либо сумма (7) переходит при указанном отображении в нуль, то она принадлежит идеалу 3. Действительно, сумму (7) можно сначала записать в виде

а затем с помощью прибавления элементов из 3 привести к нормальной форме

которой соответствует элемент (4) из с теми же коэффициентами Если этот элемент равен нулю, то равны нулю и все его коэффициенты, а потому сумма (8) лежит в 3. Тем самым идеал 3 является ядром гомоморфизма колец и имеет место изоморфизм

В правой части соотношения (9) кольцо X и идеал 3 не зависят от выбора базиса Следовательно, алгебра с точностью до изоморфизма не зависит от выбора базиса. Инвариантное определение грассмановой алгебры получается как раз тогда когда она определяется как

5. Алгебры Клиффорда. Они могут быть определены аналогично алгебрам Грассмана. Пусть квадратичная форма от переменных с коэффициентами из поля Р:

Тогда для каждого вектора пространства определено значение формы

Кроме того, для любых двух векторов определена билинейная симметрическая форма

В частности,

Определим теперь умножение векторов так, чтобы выполнялись равенства:

В этом случае (11) является следствием (10):

Таким образом, в частности,

Построим вновь -мерное векторное пространство, состоящее из сумм

Затем определим произвольные произведения

Если индексы различны и расположены в естественном порядке, то вектор определяется как базисный вектор Во всех остальных случаях произведение иаиьис... преобразуется с помощью соотношений (12) и (13). Если, например, первая пара расположенных друг за другом индексов, для которых не выполнено условие то запишем произведение (15) в виде

и заменим в соответствии с (12) и (13) одной из формул:

Множители ставятся перед произведением. Получаем

После такого преобразования в произведении будет меньше или на два множителя, или на одну инверсию. Продотжая таким образом, мы в конце концов получим некоторое выражение вида (14).

После того, как объяснены символы можно определить произведение двух базисных элементов снова с помощью (6) и доказать ассоциативность умножения. Тем самым полностью определена клиффордова алгебра (или алгебра Клиффорда) формы Если форма нулевая, то алгебра Клиффорда становится грассмановой алгеброй. Если в (14) ограничиться членами с четным числом индексов:

то получится подалгебра, называемая второй алгеброй Клиффорда

Инвариантное определение алгебры 6 получается так: возьмем в -ном кольце двусторонний идеал 3, порожденный выражениями

и построим кольцо классов вычетов Отправляясь от этого определения, Шевалле развил теорию алгебр Клиффорда над произвольным основным полем. Простое доказательство того, что инвариантное определение совпадает с данным выше, можно найти в работе: Варден (van der Waer-den В. L.).-Proc. Kon. Ned. Akad. Amsterdam, 69, S. 78.

Вторая алгебра Клиффорда была использована Брауэром и Вейлем (Brouwer L. Е. J., Weil Н.-Amer. J. Math., 57, p. 245) для доказательства того, что ортогональные преобразования (т. е. линейные преобразования с определителем 1, оставляющие инвариантной данную квадратичную форму представляются в виде

Здесь и пробегает векторное пространство — элемент алгебры переводящий пространство в себя:

В данном случае необходимо предполагать, что характеристика поля отлична от 2, а форма неособая. Для случая характеристики 2 рассмотрения несколько сложнее (см. книгу Шевалле, теорема II 3.3).

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление