Главная > Математика > Алгебра (Ван дер Варден Б.Л.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 82. Теоремы существования для формально вещественных полей

Теорема 7. Пусть К — формально вещественное поле и алгебраически замкнутое расширение поля К. Тогда существует (по крайней мере одно) вещественно замкнутое поле заключенное между для которого

Доказательство. Применим лемму Цорна (§ 69) к частично упорядоченному множеству формально вещественных и содержащих К подполей поля . В каждом линейно упорядоченном подмножестве имеется максимальный элемент, а именно — объединение всех полей этого подмножества. Согласно лемме Цорна существует некоторое максимальное формально вещественное поле, содержащее К и принадлежащее обозначим его через

Если а — произвольный элемент из не принадлежащий полю то не является формально вещественным. Это возможно лишь тогда, когда а алгебраичен над потому что простое трансцендентное расширение формально вещественного поля формально вещественно (§ 81, задача 4). Следовательно, каждый элемент из алгебраичен над т. е. алгебраическое расширение поля Так как, далее, в качестве а можно взять произвольный элемент из не содержащийся в то ни одно простое собственное алгебраическое расширение поля не может быть формально вещественным, так что поле вещественно замкнуто. Согласно теореме поле алгебраически замкнуто, а потому оно совпадает с полем Теорема доказана.

Сформулируем в явном виде некоторые частные случаи и следствия из теоремы 7.

Теорема 7а. Для каждого формально вещественного поля К существует по крайней мере одно вещественно замкнутое алгебраическое расширение.

Для доказательства нужно лишь выбрать в качестве поля из теоремы 7 алгебраически замнутое алгебраическое расширение поля К.

Теорема 76. Каждое формально вещественное поле может быть упорядочено по крайней мере одним способом.

Это следует без каких-либо новых соображений из теоремы 1 (§ 81) и теоремы 7а.

Если, далее, поле произвольное алгебраически замкнутое расширение характеристики нуль и в теореме 7 в качестве поля К берется поле рациональных чисел, то получается

Теорема 7в. Каждое алгебраически замкнутое поле характеристики нуль содержит (по крайней мере одно) вещественно замкнутое подполе для которого

Для упорядоченных полей теорема 7 может быть существенно усилена:

Теорема 8. Если К — упорядоченное поле, то существует одно и, с точностью до эквивалентности расширений, только одно вещественно замкнутое алгебраическое расширение поля К, упорядочение которого является продолжением упорядочения поля К, Поле не имеет нетождественных автоморфизмов, оставляющих на месте каждый элемент из К.

Доказательство. Как и в теореме 6 (§ 81), через К будет обозначаться поле, которое получается присоединением к К квадратных корней из всех положительных элементов из К. Пусть алгебраическое вещественно замкнутое расширение поля К. Таковое существует в силу теоремы 7а, поскольку уже известно, что К формально вещественно. Поле алгебраично над К и упорядочение поля является продолжением упорядочения на К, так как каждый положительный элемент из К является квадратом в К, а значит, и в Тем самым доказано существование требуемого поля

Пусть второе алгебраическое вещественно замкнутое расширение поля К, упорядочение которого продолжает упорядочение на К. Пусть (не обязательно неразложимый) многочлен с коэффициентами из К. Теорема Штурма позволяет выяснить, не выводя за пределы поля К, сколько корней имеет многочлен в или в Р: для этого достаточно рассмотреть ряд Штурма для Следовательно, имеет столько же корней в сколько и в В частности, каждое уравнение над К, обладающее в по крайней мере одним корнем, обладает и в по крайней мере одним корнем, и наоборот. Пусть — корни многочлена

его корни в Пусть, далее, элемент из выбран так, что и пусть неразложимое уравнение для над К. Многочлен обладает в корнем а потому и в него есть по крайней мере один корень Расширения и эквивалентны над Так как порождается корнями многочлена расширение должно порождаться корнями этого же многочлена таким образом, является подполем в откуда Поэтому являются эквивалентными расширениями поля К.

Чтобы показать, что — тоже эквивалентные расширения поля К, заметим, что любое изоморфное отображение из на обязательно сохраняет порядок, который (согласно доказательству теоремы 1 из § 81) определяется свойством элемента быть или не быть квадратом. Поэтому определим следующее отображение а из на Пусть а — элемент из неразложимый многочлен, корнем которого является а и корнями которого служат элементы из пронумерованные так, что пусть при этом Если а — корни многочлена то пусть Очевидно, о определено однозначно и оставляет элементы из К на месте. Нужно доказать, что а является изоморфным отображением. Пусть произвольно выбранный для этой цели многочлен над — его корни в а его корни в Пусть, далее, многочлен над К, корни которого являются квадратными корнями из разностей корней многочлена Пусть — корни многочлена — его корни в Согласно доказанному выше поля

являются эквивалентными расширениями поля К. Следовательно, существует изоморфное отображение из на оставляющее на месте каждый элемент из К. С помощью каждому сопоставляется некоторое и каждому некоторое Обозначения выберем так, чтобы было Если то для некоторого индекса так что

откуда Следовательно, отображение упорядочивает корни многочлена в по их величине. Так как это же имеет место для корней неразложимых в К множителей многочлена то Выбрав теперь многочлен так, чтобы среди его корней содержались два

произвольных наперед заданных элемента из равно как и их сумма а и произведение а убедимся в том, что а — изоморфное отображение поля на и притом единственное, оставляющее на месте элементы из К. Положим тогда окажется, что наше утверждение об автоморфизмах поля также справедливо.

Так как согласно § 77 поле рациональных чисел допускает только одно упорядочение, из теоремы 8 немедленно следует

Теорема . Существует — и притом только одно с точностью до изоморфизма полей — вещественно замкнутое алгебраическое расширение поля

В качестве этого поля можно, конечно, взять обычное поле вещественных алгебраических чисел (§ 78), получающееся путем выделения алгебраических чисел из совокупности всех вещественных чисел.

Как мы увидим, поле является не единственным вещественно замкнутым полем, а только одним из бесконечного множества эквивалентных ему.

Теорема 9. Каокдое формально вещественное алгебраическое расширение К поля изоморфно некоторому подполю в т. е. некоторому полю вещественных алгебраических чисел.

Доказательство. Согласно теореме 7а мы можем построить алгебраическое вещественно замкнутое расширение К поля которое согласно теореме обязательно изоморфно полю Отсюда следует требуемое.

Каждое изоморфное отображение из К на дает, конечно, некоторое упорядочение на К, так как все подполя являются с самого начала упорядоченными. Наоборот, так можно получить любое упорядочение на К, потому что конструкция вещественно замкнутого расширения проведенная в доказательстве теоремы 9, может согласно теореме 8 проводиться так, что упорядочение на К сохранится. Это упорядочение при указанном изоморфизме перейдет в (единственно возможное) упорядочение на

Если, в частности, в качестве К взять конечное поле алгебраических чисел, у которого есть лишь конечное число изоморфизмов в поле А, то получится следующее утверждение:

Число изоморфизмов, переводящих поле К в поле вещественных алгебраических чисел, равно числу различных упорядочений, возможных на К (в частности, это число равно нулю, если К не является формально вещественным).

Тот факт, что каждое содержащееся в А формально вещественное поле может быть расширено до некоторого вещественно замкнутого поля а А, приводит к следующему результату: в поле А есть бесконечно много таких полей (которые

согласно теореме изоморфны друг другу). Поля вида где некоторое нечетное натуральное число и некоторый корень степени из единицы, изоморфны полю а потому формально вещественны. Они, таким образом, приводят к вещественно замкнутым расширениям которые при фиксированном все различны, поскольку всякое упорядоченное поле может содержать лишь один корень степени из 2. Число же таких полей может быть как угодно велико.

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление