Главная > Математика > Алгебра (Ван дер Варден Б.Л.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 79. Корни вещественных функций

Пусть поле вещественных чисел. Рассмотрим вещественнозначные функции вещественной переменной х. Такая функция называется непрерывной при если для любого числа существует такое число при котором

Легко доказать, что суммы и произведения непрерывных функций являются непрерывными функциями (см. аналогичное доказательство для фундаментальных последовательностей в § 78). Так как константы и функция непрерывны всюду, то все многочлены от х представляют всюду непрерывные функции от х.

Теорема Вейерштрасса о корнях непрерывных функций утверждает:

Если непрерывная при функция такова, что то между она обращается в нуль.

Доказательство. Пусть с — верхняя грань всех х, лежащих между для которых Имеются три возможности.

1. . Тогда и существует такое, что для имеет место

т. е.

Следовательно, с верхняя граница для таких х, что Но элемент с был наименьшей верхней границей. Следовательно, этот случай невозможен.

2. . Тогда с и существует такое что для например, для

Тем самым число с не есть верхняя граница всех таких х, что Следовательно, и этот случай невозможен.

3. - единственный оставшийся случай. Следовательно, обращается в нуль при

Теорема Вейерштрасса о корнях применительно к многочлену является основой всех теорем о вещественных корнях алгебраических уравнений. Позднее мы перенесем ее на случай так

называемых «вещественно замкнутых полей», так что она окажется верной не только для поля вещественных чисел. Все последующие теоремы этого параграфа основываются исключительно на теореме Вейерштрасса о корнях многочленов и тем самым окажутся справедливыми для всех вводимых позднее полей, где эта теорема выполнена.

Следствие 1. Многочлен при и любом натуральном всегда имеет корень и притом даже положительный.

Действительно, при а при больших х например, имеем

Из следует, далее, что при откуда можно получить положительный корень уравнения Он обозначается через а при просто через («квадратный корень»). Положим Из следует потому что если бы было у а то оказалось бы выполненным неравенство а

Следствие 2. Каждый многочлен нечетной степени имеет корень в поле

Действительно, в силу задачи 2 из § 77 существует такое что

Обратимся теперь к вычислению вещественных корней многочлена Под вычислением, в соответствии с определением вещественных чисел, подразумевается сколь угодно точная аппроксимация рациональными числами.

В § 77 (задача 2) мы уже видели, как можно заключить в границы вещественные корни многочлена если

и наибольшее из чисел то все корни лежат между и Число можно заменить на некоторое (при необходимости большее) рациональное число, которое вновь обозначим через интервал с рациональными концами с помощью промежуточных рациональных точек можно разделить на сколь угодно мелкие части. В какой из этих частей находятся корни, можно будет установить, обладая средством подсчета числа корней в каждой из полученных частей интервала. С помощью дальнейшего разбиения интервала, в котором лежат вещественные корни, можно будет аппроксимировать эти корни сколь угодно точно.

Следующая теорема доставляет средство определения числа корней между двумя заданными границами, а также общего числа корней данного уравнения.

Теорема Штурма. Определим многочлены на основе заданного многочлена по следующей схеме:

Для каждого вещественного числа а, не являющегося корнем многочлена пусть число перемен знака в последовательности чисел

из которой удалены все нули. Если — произвольные числа, на которых не обращается в нуль, причем то число различных корней в интервале (кратные корни считаются только один раз) равно

Последовательность многочленов называется рядом Штурма многочлена Таким образом, теорема утверждает, что число корней между и с задается числом перемен знака в ряду Штурма, потерянных при переходе от к с.

Доказательство. Очевидно, последний многочлен указанного ряда является наибольшим общим делителем многочленов Если считать, что все многочлены ряда разделены на то будет освобожден от кратных линейных множителей, а число перемен знака в точке а, не являющейся корнем, останется прежним. Действительно, знаки членов ряда при таком делении либо все изменятся, либо все сохранятся. Поэтому мы можем считать с самого начала доказательства, что описанное деление уже осуществлено и последний член в ряду является ненулевой константой. Второй член в ряду в общем случае уже не будет производной первого, так как, если, скажем, некоторый -кратный корень многочлена и

то удаление множителя даст два многочлена:

а наличие других кратных корней вызовет дальнейшее сокращение. Обозначим так измененные многочлены ряда Штурма вновь через

При этом предположении в любой точке а два последовательных члена ряда не равны одновременно нулю, потому что, если бы, скажем одновременно были равны нулю, то из равенств (1) можно было бы заключить, что и равны нулю, в то время как

Корни многочленов в ряду Штурма разбивают интервал на подынтервалы. Внутри любого такого подынтервала ни X, ни не обращаются в нуль, а по теореме Вейерштрасса о корнях отсюда следует, что внутри каждого такого интервала все многочлены ряда Штурма сохраняют свои знаки, так что число сохраняется неизменным. Нам, следовательно, нужно еще только выяснить, как меняется число в точке в которой равен нулю один из многочленов ряда.

Пусть сначала корень многочлена В силу равенства

числа обязаны иметь разные знаки. Тогда и в двух подынтервалах, примыкающих к точке многочлены и имеют разные знаки. Каков знак многочлена или , для числа перемен знака между не имеет значения: всегда есть ровно одна перемена. Следовательно, число не меняется при переходе через точку

Пусть теперь корень многочлена и в соответствии со сделанным выше замечанием

где I — некоторое натуральное число. Знак многочлена в точке а потому и в двух примыкающих интервалах, совпадает со знаком числа в то время как знак многочлена X в каждой точке х равен знаку многочлена Следовательно, при имеется перемена знака между и а при нет. Все же остальные перемены знака в ряду Штурма, как уже было показано, сохраняются при переходе через точку Следовательно, число при переходе через уменьшается на единицу. Теорема доказана.

Если теорема Штурма применяется для определения числа корней (различных вещественных) многочлена то в качестве

границы нужно взять настолько малое число, а в качестве границы с — настолько большое число, чтобы при и при многочлен вообще не имел корней. Достаточно, например, положить Удобнее, однако, выбирать и с так, чтобы все многочлены в ряду Штурма при и при не имели корней. Тогда их знаки будут определяться знаками их старших коэффициентов: многочлен при очень больших значениях имеет знак числа а при очень малых (отрицательных) значениях знак числа При таком подходе не приходится думать о том, как велики должны быть числа : нужно лишь определить старшие коэффициенты и степени многочленов Штурма.

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление