Главная > Математика > Алгебра (Ван дер Варден Б.Л.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

70. Теорема Цермело

Наиболее важным следствием аксиомы выбора является теорема Цермело о полном упорядочении:

Каждое множество может быть вполне упорядочено.

Цермело дал два доказательства этой теоремы. Первое из них было упрощено Кнезером и состоит в следующем.

Пусть некоторое множество. Каждое собственное подмножество имеет непустое дополнение В силу аксиомы выбора существует функция которая каждому собственному подмножеству сопоставляет некоторый элемент из

Под -цепью мы понимаем теперь любое подмножество вполне упорядоченное таким образом, что для каждого у из К имеет место соотношение

где — отрезок множества К, состоящий из тех х, которые предшествуют элементу у во вполне упорядоченном множестве К.

Теперь нужно воспользоваться теми же рассуждениями, которые применялись в § 69 при доказательстве основной леммы, но вместо -цепей нужно брать -цепи. Итак, возьмем объединение V всех -цепей и заметим, что множество V вполне упорядочено, множество V является -цепью и если к V добавить еще один элемент то полученное множество не будет -цепью.

Если то в множестве можно взять отмеченный элемент и рассмотреть его как последний элемент в Расширенное множество будет тогда вновь -цепью, что противоречит сказанному выше. Тем самым остается одна возможность: множество V совпадает со всем множеством Следовательно, множество вполне упорядочено.

Важность вполне упорядоченных множеств состоит в возможности применения метода индукции, известного нам по счетным множествам, в случае любых вполне упорядоченных множеств. Этот вопрос рассматривается в следующем параграфе.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление