Главная > Математика > Алгебра (Ван дер Варден Б.Л.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Разбиение на классы

Знак равенства удовлетворяет следующим условиям:

То же самое выражается следующими словами: отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно. Если между элементами произвольного множества определено отношение (т. е. для любой пары элементов либо имеет место либо нет), подчиненное аксиомам:

то оно называется отношением эквивалентности.

Пример. В области целых чисел назовем два числа эквивалентными, если их разность делится на 2. Очевидно, аксиомы выполняются.

Если задано какое-либо отношение эквивалентности, то мы можем объединить все элементы, эквивалентные данному элементу а, в один класс Элементы в таком классе попарно эквивалентны, так как из в силу аксиом 2) и 3) следует Кроме того, все элементы, эквивалентные какому-либо элементу произвольно фиксированного класса, принадлежат этому классу,

так как из с следует Таким образом, класс задается каждым своим элементом: если вместо а выбрать другой элемент того же самого класса, то получится, что Следовательно, мы можем выбрать каждый элемент в качестве представителя данного класса.

Если же мы начнем построение с такого элемента который не принадлежит рассматриваемому классу (т. е. не эквивалентен элементу а), то придем к классу . У которого нет общих элементов с классом К а, в противном случае имели бы и откуда следовало бы ? В этом случае классы не пересекаются.

Классы эквивалентности целиком покрывают данное множество, потому что каждый элемент а принадлежит некоторому классу, а именно — классу Таким образом, множество распадается на попарно непересекающиеся классы. В нашем последнем примере это класс четных и класс нечетных чисел.

Как мы видели, тогда и только тогда, когда Вводя классы эквивалентности вместо элементов, мы можем отношение эквивалентности а заменить отношением равенства

Обратно, если задано разбиение множества на попарно непересекающиеся классы, то мы можем положить по определению: а если лежат в одном классе. Очевидно, такое отношение удовлетворяет аксиомам 1), 2), 3).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление