Главная > Математика > Алгебра (Ван дер Варден Б.Л.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 63. Общее уравнение n-й степени

Под общим уравнением степени понимается уравнение

с неопределенными коэффициентами которые присоединяются к основному полю К. Если корни этого уравнения, то

Сравним общее уравнение (4) с другим уравнением, корни которого являются неопределенными величинами и коэффициенты которого выражаются просто как элементарные симметрические функции этих величин:

Уравнение (2) сепарабельно и имеет в качестве группы Галуа над симметрическую группу всех подстановок элементов потому что каждая такая подстановка представляет некоторый автоморфизм поля оставляющий инвариантными симметрические функции от а потому и все элементы поля Каждая функция от инвариантная относительно подстановок из группы, принадлежит, следовательно, полю т. е. каждая симметрическая функция от может быть рационально еыражена через Тем самым мы ззноео доказали часть основной теоремы о симметрических функциях из с помощью теории Галуа.

Кроме того, мы без труда получаем теперь «теорему единственности» из т. е. следующее утверждение: соотношение может иметь место лишь тогда, когда многочлен является тождественным нулем.

Действительно, в противном случае

и это соотношение оставалось бы выполненным после замены на Таким образом, мы получили бы

или следовательно, многочлен оказался бы тождественным нулем.

Из теоремы единственности следует, что сопоставление

является не только гомоморфизмом, но даже и изоморфизмом колец Этот изоморфизм может быть продолжен до изоморфизма полей частных и, согласно § 41, до изоморфизма полей корней Символы переходят в в каком-то порядке; так как перестановочны, мы можем переводить каждый в соответствующий х. Итак, доказано следующее;

Существует изоморфизм

который переводит каждый элемент а каждый

С помощью этого изоморфизма можно перенести все теоремы об уравнении (2) на уравнение (1). В частности,

Общее уравнение (1) сепарабельно и имеет группой Галуа над полем своих коэффициентов симметрическую группу. Степень поля разложения этого многочлена равна Положим

и обозначим через симметрическую группу. В ней всегда есть подгруппа индекса 2 — знакопеременная группа Соответствующее промежуточное поле А имеет степень 2 и порождается любой функцией от инвариантной относительно но не относительно Если характеристика поля К отлична от 2, то одной из таких функций является произведение разностей

квадрат которого равен дискриминант уравнения (1):

Дискриминант является симметрической функцией, т. е. многочленом от и. Следовательно, поле мы получаем в виде

Для группа проста (§ 55); поэтому

— композиционный ряд. Следовательно, группа при неразрешима и согласно § 62 отсюда следует знаменитая теорема Абеля:

Общее уравнение степени при неразрешимо в радикалах.

Для композиционные факторы ряда (3) цикличны. Для оказывается даже верным равенство для факторы имеют порядки 2 и 3. Для имеется композиционный ряд

где «четверная группа Клейна»

и - ее любая подгруппа порядка 2. Порядки композиционных факторов таковы:

Эти обстоятельства лежат в основе формул для решений уравнений второй, третьей и четвертой степеней, которые рассматриваются в следующем параграфе.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление