Главная > Математика > Алгебра (Ван дер Варден Б.Л.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 44. Сепарабельные и несепарабельные расширения

Пусть снова А — поле.

Выясним, может ли неразложимый в многочлен обладать кратными корнями?

Для того чтобы обладал кратными корнями, многочлены должны иметь общий отличный от константы множитель, который согласно § 41 можно вычислить уже в Если многочлен неразложим, то ни с каким многочленом меньшей степени не может иметь непостоянных общих множителей, следовательно, должно иметь место равенство

Положим

Так как в нуль должен обращаться каждый коэффициент:

В случае характеристики нуль отсюда следует, что для всех Следовательно, непостоянный многочлен не может иметь кратных корней. В случае же характеристики равенства возможны и для но тогда обязаны выполняться сравнения

Таким образом, чтобы многочлен обладал кратными корнями, все его слагаемые должны обращаться в нуль, за исключением тех для которых должен иметь вид

Обратно: если имеет такой вид, то В этом случае мы можем записать:

Тем самым доказано утверждение: В случае характеристики нуль неразложимый в многочлен имеет только простые корни; в случае же характеристики многочлен (если он отличен от константы) имеет кратные корни тогда и только тогда, когда его можно представить как многочлен от

В последнем случае может оказаться, что в свою очередь является многочленом от Тогда является многочленом от Пусть многочлен от

но не является многочленом от Разумеется, многочлен неразложим. Далее, потому что иначе имел бы вид следовательно, представлялся бы в виде что противоречит предположению. Следовательно, имеет только простые корни.

Разложим многочлен в некотором расширении основного поля на линейные множители:

Тогда

Пусть какой-нибудь корень многочлена Тогда

Следовательно, является -кратным корнем многочлена и

Все корни многочлена имеют, таким образом, одну и ту кратность

Степень многочлена называется редуцированной степенью многочлена корня число называется показателем многочлена корня над полем Между степенью, редуцированной степенью и показателем имеет место соотношение

где равно числу различных корней многочлена

Если корень неразложимого в кольце многочлена, обладающего лишь простыми корнями, то называется сепарабельным элементом над или элементом первого рода над При этом неразложимый многочлен, все корни которого сепарабельны, называется сепарабельным. В противном случае алгебраический элемент и неразложимый многочлен называются несепарабельными или элементом (соответственно, многочленом) второго рода. Наконец, алгебраическое расширение 2, все элементы которого сепарабельны над называется сепарабельным над а любое другое алгебраическое расширение называется несепарабельным.

В случае характеристики нуль согласно сказанному выше каждый неразложимый многочлен (а потому и каждое алгебраическое расширение) является сепарабельным. Позднее мы увидим, что большинство наиболее важных и интересных расширений полей сепарабельны и что существуют целые классы полей, вообще не имеющих несепарабельных расширений (так называемые «совершенные поля»). По этой причине в дальнейшем все связанное специально с несепарабельными расширениями набрано мелким шрифтом.

Рассмотрим теперь алгебраическое расширение Когда степень уравнения определяющего это расширение, равна степени редуцированная степень оказывается равной числу изоморфизмов поля 2 в следующем смысле: рассмотрим лишь такие изоморфизмы 22, при которых элементы подполя остаются неподвижными и, следовательно, 2 переводится в эквивалентное поле 2 (изоморфизмы поля 2 над полем и при которых поле-образ 2 лежит вместе с полем 2 внутри некоторого общего для них поля В этих условиях имеет место теорема:

При подходящем выборе поля расширение имеет ровно изоморфизмов над и при любом выборе поля поле 2 не может иметь более таких изоморфизмов.

Доказательство. Каждый изоморфизм над должен переводить элемент в сопряженный с ним элемент из Выберем так, чтобы разлагался над на линейные множители;

тогда окажется, что элемент имеет ровно сопряженных элементов При этом, как бы ни выбиралось поле , элемент не будет иметь в нем более сопряженных. Заметим теперь, что каждый изоморфизм над А полностью определяется заданием соответствия Действительно, если переходит в и все элементы из А остаются на месте, то элемент

должен переходить в

а этим определяется изоморфизм.

В частности, если — сепарабельный элемент, тот следовательно, число изоморфизмов над основным полем равно степени расширения.

Если имеется какое-то фиксированное поле, содержащее все рассматриваемые поля, в котором содержатся все корни каждого уравнения (как, например, в поле комплексных чисел), то в качестве можно раз и навсегда взять это поле и поэтому отбросить добавление «внутри некоторого во всех предложениях об изоморфизмах. Так всегда поступают в теории числовых полей. Позднее мы увидим, что и для абстрактных полей можно построить такое поле .

(см. скан)

Обобщением приведенной выше теоремы служит следующее утверждение: Если расширение получается из последовательным присоединением алгебраических элементов причем каждое из а; является корнем неразложимого над уравнения редуцированной степени , то расширение имеет ровно изоморфизмов над А и ни в одном расширении нет большего числа таких изоморфизмов поля .

Доказательство. Для теорема уже была доказана выше. Предположим ее справедливой для расширения в некотором подходящем расширении есть ровно изоморфизмов поля над Пусть один из этих изоморфизмов. Утверждается, что в подходящим образом выбранном поле он может быть продолжен до изоморфизма не более чем способами.

Элемент удовлетворяет некоторому уравнению над различными корнями. С помощью изоморфизма многочлен переводится в некоторый многочлен Но тогда в подходящем расширении

имеет опять-таки различных корней и не больше. Пусть один из этих корней. В силу выбора элемента изоморфизм продолжается до изоморфизма одним и только одним способом: действительно, это продолжение задается формулой

Так как выбор элемента может быть осуществлен способами, существует продолжений такого сорта для выбранного изоморфизма Так как в свою очередь этот изоморфизм может быть выбран способами, то всего существует (в том поле , в котором содержатся все корни всех рассматриваемых уравнений)

изоморфизмов расширения 2 над полем что и требовалось доказать.

Если полная (нередуцированная) степень элемента над равно степени расширения поля ; следовательно, степень равна сравнить это число с числом изоморфизмов то получится следующее предложение:

Число изоморфизмов расширения над (в некотором подходящем расширении ) равно степени тогда и только тогда, когда каждый элемент сепарабелен над полем Если же хотя бы один элемент несепарабелен над соответствующим полем, то число изоморфизмов меньше степени расширения.

Из этой теоремы сразу получается несколько важных следствий. Прежде всего теорема утверждает, что свойство каждого элемента быть селарабельным предыдущим полем есть свойство самого расширения 2 независимо от выбора порождающих элементов Так как произвольный элемент поля может быть взят в качестве первого порождающего, элемент оказывается сепарабельным, если все являются таковыми. Итак:

Если к полю последовательно присоединяются элементы и каждый элемент оказывается сепарабельным над полем, полученным присоединением предыдущих элементов то расширение

сепарабельно над

В частности, сумма, разность, произведение и частное сепарабельных элементов сепарабельны.

Далее, если сепарабелен над 2, а поле 2 сепарабельно над то элемент сепарабелен над Это объясняется тем, что удовлетворяет некоторому уравнению с конечным числом коэффициентов из 2 и, следовательно, сепарабелен над Тем самым сепарабельно и расширение

Наконец, имеет место следующее предложение: число изоморфизмов конечного сепарабельного расширения 2 над полем А равно степени расширения

Так как в соответствии со сказанным выше рациональные операции над сепарабельными элементами вновь приводят к сепарабельным элементам (внутри некоторого расширения поля ), то все сепарабельные над А элементы из составляют некоторое поле Это поле можно описать и как наибольшее сепарабельное расширение поля А внутри .

Если алгебраично над А, но не обязательно сепарабельно, то степень каждого элемента а из лежит в где показатель рассматриваемого элемента. Действительно, из рассмотрений начала этого параграфа немедленно следует, что удовлетворяет уравнению с попарно различными корнями. Итак,

Расширение получается из расширения извлечением корней степени из его элементов.

Если, в частности, конечно над А, то показатели обязательно ограничены. Наибольший среди них, который мы обозначим вновь через называется показателем расширения Я. Степень расширения над А называется редуцированной степенью над

Само собой разумеется, что корни степени можно получить последовательным извлечением корней степени. При извлечении корня степени из какого-то элемента, не имевшего в исходном поле этого корня (т. е. при присоединении корня неразложимого уравнения степень расширения умножается на Следовательно, в конце концов после -кратного повторения операции извлечения корня степени мы получим

или

как в простых сепарабельных расширениях.

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление