Главная > Математика > Алгебра (Ван дер Варден Б.Л.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 24. Тензоры

Пусть некоторое -мерное векторное пространство и его базис над полем Векторы пространства представляются, следовательно, в виде

Рассмотрим билинейные формы со значениями в К, т. е. функции от двух векторов со следующими свойствами:

Билинейная форма оказывается заданной, как только заданы значения

Действительно, в этом случае

где суммирование ведется по всем от 1 до Элементы называются координатами билинейной формы Выберем в основном поле произвольно; тогда форма, определенная с помощью (7), обязательно обладает свойствами Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между билинейными формами и системами из их координат

Подобно рассмотренным в § 21 линейным формам билинейные формы можно складывать и умножать на константы из . Билинейные формы составляют векторное пространство размерности Элементы этого векторного пространства называются также тензорами, а точнее, — ковариантными двухвалентными тензорами. Мы обозначаем эти тензоры через и вместо пишем Согласно (7) в этом случае

При желании разделительную точку можно отбросить и писать просто

Аналогично можно ввести в рассмотрения полилинейные формы или ковариантные тензоры произвольной валентности:

причем эти формы линейны как по х, так и по Их коэффициенты таковы:

и

Двойственным образом строятся контравариантные тензоры, т. е. полилинейные формы, аргументы которых являются ковекторами например,

Ковариантные одновалентные тензоры — это в точности ковекторы, а контравариантные одновалентные тензоры взаимно однозначно соответствуют векторам х пространства

По этой причине ковекторы и векторы называют также, еле. дуя Эйнштейну, ковариантными и контравариантными векторами.

Наконец, можно рассматривать смешанные тензоры Они определяются через полилинейные формы, аргументы которых являются векторами и ковекторами в произвольном числе; например,

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление