Главная > Математика > Алгебра (Ван дер Варден Б.Л.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 162. Топологические группы

Топологическая группа (или коротко — -группа) — это топологическое пространство, которое одновременно является группой, причем является непрерывной функцией от является непрерывной функцией от х. Таким образом, к четырем аксиомам группы и двум аксиомам открытых множеств в данном случае добавляются следующие:

TG. Для каждой окрестности произведения существуй окрестности и произведение которых содержится в .

TG2. Для каждой окрестности существует такая окрестность что содержится в

При этом через обозначается множество элементов х обратных к элементам х из

Очевидно, достаточно потребовать выполнение аксиом и для окрестностей некоторого базиса окрестностей, и выбрать и тоже из этого базиса.

Вот примеры топологических групп:

а) аддитивная группа поля вещественных или поля комплексных чисел;

б) -мерное вещественное пространство (§ 159, пример 4);

в) мультипликативная группа вещественных чисел или комплексных чисел, отличных от нуля.

Каждая группа становится дискретной топологической группой, если на множестве ее элементов взять дискретную топологию, т. е. объявить все множества открытыми.

Дальнейшие примеры см. в § 163, задача, и § 164, пример 5.

Из и легко следуют утверждения:

TG. Для каждой окрестности существуют окрестности и такие, что содержится в .

TG. Для каждой окрестности существуют окрестности и такие, что содержится в

(см. скан)

Докажем теперь следующее:

Каждая Тгруппа является -группой.

Доказательство. Пусть так что В силу существует окрестность не содержащая Согласно существуют окрестности и такие, что принадлежит а потому это произведение не содержит Но тогда существуют окрестности и не имеющие ни одной общей точки. Этим доказано

Тем же методом доказывается следующее утверждение:

Если в некоторой -группе существует окрестность точки не содержащая точку то существуют две окрестности

и без общих элементов, и, таким образом, существует окрестность не содержащая точку В этом случае элементы называют отделимыми друг от друга. Точки которые неотделимы от точки составляют замкнутую оболочку множества

Две -группы называются топологически изоморфными, если существует изоморфизм этих групп, являющийся одновременно топологическим отображением из на

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление