Главная > Математика > Алгебра (Ван дер Варден Б.Л.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 139. Дробные идеалы

В § 137 -модуль в поле частных 2 был назван дробным идеалом, если он обладает конечным базисом. Таким образом, идеалы в о, или «целые идеалы», являются частным случаем дробных идеалов.

Если базис некоторого дробного идеала, то с помощью умножения на подходящий знаменатель можно сделать все элементы базиса , а с ними и весь идеал — целыми.

Обратно, если некоторый -модуль а при умножении на какой-то целый элемент становится целым идеалом, то в целом идеале имеется конечный базис

а потому

Тем самым мы доказали следующее предложение:

Произвольный -модуль в поле 2 является дробным идеалом тогда и только тогда, когда он может быть сделан целым идеалом с помощью умножения на некоторый целый элемент

Мы уже видели, что вместе с a и b идеалы и имеют конечные базисы, а потому они одновременно являются и дробными идеалами. То же самое остается верным и для частного модулей а где целые идеалы и Действительно, если произвольный элемент из то

так что с помощью умножения на становится целым идеалом.

В частности, дробный идеал.

Каждый целый или дробный ненулевой идеал обладает обратным.

Доказательство. Пусть с — целый или дробный ненулевой идеал и элемент выбран так, что идеал целый:

Если теперь то умножение равенства (1) на дает в соответствии с теоремой 1 (§ 137)

чем и доказано существование обратного идеала

Из этого предложения следует: целые и дробные ненулевые идеалы образуют абелеву группу.

Уравнение однозначно решается относительно неизвестного с. Решением будет в других обозначениях,

Из доказанных ранее теорем теперь следует:

Каждый дробный идеал является отношением двух целых идеалов, т. е. представляется в виде

При этом можно сокращать каждый идеал, участвующий одновременно как в числителе, так и в знаменателе.

Каждый дробный главный идеал допускает представление в виде частного двух целых главных идеалов, в котором ни один из любых наперед заданных простых идеалов не входит одновременно в числитель и знаменатель.

Доказательство. Пусть после сокращения

наперед заданные простых идеалов. С помощью умножения на некоторый идеал взаимно простой с произведением мы получим в знаменателе некоторый главный идеал

следовательно,

Таким образом, и числитель оказался главным идеалом. При этом ни один из идеалов не входит в числитель и знаменатель.

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление