Главная > Математика > Алгебра (Ван дер Варден Б.Л.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 123. Кольца частных

В § 13 мы построили поле частных произвольного коммутативного кольца без делителей нуля. Эта конструкция без изменений переносится и на кольца с делителями нуля, если только в кольце есть элементы, не являющиеся делителями нуля. Для этого строится кольцо дробей в которых знаменателями служат всевозможные элементы, не являющиеся делителями нуля, а числителем а может быть любой элемент кольца.

Множество знаменателей можно еще более ограничить. Пусть в коммутативном кольце задано непустое множество элементов, не являющихся делителями нуля, которое вместе с двумя любыми своими элементами содержат их произведение Тогда дроби (а принадлежит принадлежит образуют кольцо, содержащее кольцо кольцо частных Это понятие восходит к Греллю (Grell Н. - Math. Ann., 97, S. 499).

Если коммутативное кольцо, содержащее то каждый идеал а из порождает некоторый идеал а в кольце расширение идеала а в кольце Наоборот, пересечение кольца с любым идеалом с из всегда является идеалом в сужением идеала с в кольце Сужения идеалов называются также отмеченными идеалами кольца (относительно

Общее исследование о расширениях и сужениях идеалов имеется в уже упоминавшейся работе Грелля. Здесь же мы рассмотрим лишь случай колец частных, где связи достаточно просты.

Если а — идеал в то расширение а в кольце частных состоит из всевозможных дробей (а принадлежит принадлежит Если из идеала а построить сужение а то получится в точности -компонента определенная в § 120, а именно — множество всех х, для которых при некотором из лежит в а.

Обратно, если исходить из произвольного идеала а кольца частных и построить сужение

то расширением идеала а вновь будет а. Пересечение этого

расширения с равно а и в этом случае Наоборот, если то а — сужение некоторого идеала, а именно — идеала являющегося его расширением. Отмеченные идеалы кольца характеризуются, следовательно, свойством:

Из сказанного немедленно следует, что между идеалами а кольца и отмеченными идеалами а кольца есть взаимно однозначное соответствие по правилу: а является сужением идеала , а является расширением идеала При этом, очевидно, пересечению соответствует пересечение

Если в имеет место теорема о цепях делителей, то она имеет место, в частности, и для отмеченных идеалов, а потому и для идеалов кольца Упорядочим в пересечении

примерные идеалы так, чтобы элементы из содержались лишь в (или в ассоциированных простых идеалах тогда эти идеалы при расширении перейдут в единичный идеал кольца как в § 120, получится, что

Стоящие в правой части соотношения (2) идеалы обладают тем свойством, что Таким образом, идеал — отмеченный. В силу взаимно однозначной связи между отмеченными идеалами и их расширениями из (1) получается следующее представление для расширения идеала:

Сравнение равенств (1) и (3) показывает, что при переходе от строение идеалов становится более бедным. Все те идеалы, которые содержат элементы из в частности, идеалы дают в качестве расширения единичный идеал. Лишь отмеченные идеалы (обладающие свойством остаются при расширении неизменными в том смысле, что из можно вновь получить исходный идеал как результат сужения.

(см. скан)

Обобщенные кольца частных. Если мультипликативно замкнутое множество кольца содержащее делители нуля, но не содержащее самого нуля, то, следуя Шевалле, можно определить обобщенное кольцо частных. Пусть -компонента нулевого идеала в Построим сначала факторкольцо

Классы вычетов элементов из по модулю составляют мультипликативно замкнутое множество кольца не содержащее делителей нуля. Тогда можно построить обычное кольцо частных Оно и называется обобщенным кольцом частных кольца относительно множества Свойства этого объекта аналогичны свойствам обычных колец частных. Так, например, можно построить расширение идеала а кольца для этого сначала строится образ а идеала а при гомоморфизме а затем берется идеал кольца порождаемый идеалом а. Аналогично строится сужение идеала с кольца сначала берется пересечение с кольцом а потом строится множество элементов, классы вычетов по модулю которых принадлежат этому пересечению.

Дальнейшие сведения можно найти в книге: Норткотт (Northcott D. G.). Ideal theory.-Cambridge Tracts in Math., 42, section 2.7.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление