Главная > Математика > Алгебра (Ван дер Варден Б.Л.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 101. Кольцо эндоморфизмов прямой суммы

Пусть прямая сумма простых модулей. Мы собираемся исследовать кольцо эндоморфизмов модуля

Если какой-либо элемент и модуля имеет разложение на -компоненты вида

то каждое отображение -является некоторым эндоморфизмом Сумма всех этих эндоморфизмов является тождественным эндоморфизмом

Таким образом, каждый эндоморфизм может быть представлен в виде

Положим

тогда

Каждый из эндоморфизмов отображает модуль в модуль а все остальные модули в нуль. Следовательно, можно считать, что является гомоморфизмом модуля в модуль Гомоморфизмы входящие в (4), — всего их можно выбирать произвольно; при этом их сумма всегда будет некоторым эндоморфизмом и каждый эндоморфизм можно получить таким способом. Разложение на гомоморфизмы модуля в модуль однозначно, так как из (4) следует (3), если первое из равенств умножить слева на а справа — на

Если два эндоморфизма, то легко построить их сумму и произведение. Для этого нужно иметь в виду, что равно нулю для Таким образом,

Эндоморфизмы можно записать в виде матрицы Тогда каждому эндоморфизму окажется сопоставленной матрица из гомоморфизмов которые могут быть любыми; при этом сумме сопоставляется в соответствии с (5) сумма матриц, а произведению в соответствии с (6) — произведение матриц.

Вообще говоря, многие из гомоморфизмов равны нулю. Точнее, имеет место следующая теорема:

Если модуль гомоморфно отображается в модуль и это отображение не является нулевым, то оно является изоморфизмом из на

Доказательство. Ядро такого гомоморфизма является подмодулем в и поэтому, если не переводится в нуль целиком, это ядро равно Образом является некоторый подмодуль в так как он не равен нулю, он совпадает с

Из этой теоремы следует, что за исключением случая, когда имеет место изоморфизм Если мы распределим модули на классы изоморфных друг другу и перенумеруем их так, чтобы были попарно изоморфны, затем были попарно изоморфны и т. д., то,

очевидно, матрицы распадутся на квадратные блоки из строк и столбцов, вне которых будут стоять нули:

Если писать в первом блоке произвольные элементы, а во всех остальных — нули, то получится некоторое матричное кольцо являющееся подкольцом кольца исходных матриц; точно так же, если всюду вне второго блока писать нули, то получится некоторое кольцо Очевидно, что каждый элемент кольца представляется в виде суммы элементов из и что элементы из аннулируют друг друга. Таким образом, кольцо является прямой суммой аннулирующих друг друга колец

Чтобы выяснить строение кольца нам нужно изучить лишь одно из колец например, Элементам из сопоставлены -строчные матрицы

первого блока.

Элемент принадлежит телу эндоморфизмов модуля Остальные элементы не принадлежат этому телу, а являются гомоморфизмами из в Однако можно однозначно отобразить эти элементы на некоторые элементы тела для этой цели мы фиксируем изоморфизмов

отображающих на . В качестве мы выберем тождественный автоморфизм. Сопоставим каждому элемент

принадлежащий телу (так как отображает на отображает в а отображает на Очевидно при этом сумме соответствует снова сумма, а произведению встречающемуся в (6), соответствует произведение. Таким способом матрице (7) однозначно сопоставляется матрица с элементами из тела причем сумма переходит в сумму, а произведение — в произведение. Поэтому кольцо изоморфно

кольцу всех -строчных матриц с элементами из тела тела автоморфизмов простого модуля

Подводя итог сказанному, мы получаем следующую теорему:

Структурная теорема о кольцах эндоморфизмов. Кольцо эндоморфизмов вполне приводимого модуля является прямой суммой полных матричных колец над телами

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление