ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА

Современная алгебра, берущая свое начало в замечательных работах Гильберта конца прошлого века, сложилась в общих чертах в 20-е годы. Итогом этого периода становления явилось первое издание настоящей книги, вышедшее в 1931 году. Хотя с тех пор передний край алгебраических исследований продвинулся далеко, книга и сейчас выглядит свежо и современно, — правда, уже не как свод новейших результатов и понятий, а как отличный учебник основ алгебры. Эволюция книги от издания к изданию хорошо отражена в предисловиях автора.

Сознание того, что предметом алгебры являются множества с заданными на них алгебраическими операциями, а точнее — сами операции, утвердилось полвека назад, однако систематическому изучению долгое время подвергались лишь немногие типы таких множеств, унаследованные от алгебры XIX века, — группы, кольца, векторные пространства. Этим классическим системам и посвящена в основном книга ван дер Вардена.

Дальнейший прогресс в алгебре наметился в середине 30-х годов, когда Биркгоф начал изучение произвольных универсальных алгебр, а А. И. Мальцев заложил основы еще более общей теории, пограничной с математической логикой, - теории алгебраических систем. Развитие этой теории было вызвано глубокими внутренними причинами и настоятельными запросами приложений, в которых все чаще возникали алгебраические системы, не сводящиеся к классическим. Указанные более поздние исследования остались за рамками книги.

Новосибирск, Академгородок., 10 марта 1975 г. Ю. И. Мерзляков

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЙ АВТОРА

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ ПЕРВОГО ТОМА

Во втором издании была существенно расширена теория нормирований. В последнее время она становится все более важной для теории чисел и алгебраической геометрии. Поэтому здесь я изложил главу «Теория нормирований» гораздо подробнее и яснее.

Отвечая многочисленным пожеланиям, я вновь включил разделы о полном порядке и трансфинитной индукции, опущенные во втором издании, и на этой основе изложил во всей общности разработанную Штейницем теорию полей.

Благодаря совету Зарисского понятие многочлена удалось ввести легко и ясно. Кроме того, благодаря любезному замечанию Переманса улучшено изложение теории норм и следов.

Ларен (Северная Голландия), июль 1950. Б. Л. ван дер Варден

ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ ПЕРВОГО ТОМА

Недавно скоропостижно скончавшийся алгебраист и теоретико-числовик Бранд закончил рецензию третьего издания этой книги в годовом отчете немецкого математического общества (том 55) следующими словами:

«Что касается названия, то я бы приветствовал выбор для четвертого издания более простого, но и более сильного

заголовка — «Алгебра». Книга, которая так много дала, дает и будет давать лучшей части математики, не должна своим названием вызывать подозрение, будто бы она посвящена одному какому-то современному течению, которое еще не было известно вчера, а завтра, возможно, будет забыто».

Следуя этому совету, я изменил заголовок книги на «Алгебра».

Указанию М. Дойринга я обязан более целенаправленным определением понятия «гиперкомплексная система» и расширением теории Галуа полей деления круга настолько, насколько этого требует ее приложение к теории циклических полей.

На основании писем из различных стран внесены многочисленные мелкие исправления. Благодарю авторов этих писем.

Цюрих, март 1955. Б. Л. ван дер Варден

ПРЕДИСЛОВИЕ К СЕДЬМОМУ ИЗДАНИЮ ПЕРВОГО ТОМА

Первое издание задумывалось как введение в новую абстрактную алгебру; разделы классической алгебры, в частности, теория определителей, предполагались известными. Но сегодня эта книга используется студентами в основном как первое введение в алгебру. Поэтому оказалось необходимым ввести главу «Векторные и тензорные пространства», в которой подробно обсуждаются основные понятия линейной алгебры и, в частности, понятие определителя.

Первая глава «Числа и множества» была облегчена тем, что понятие порядка и полного порядка были перенесены в новую девятую главу. Лемма Цорна выводится непосредственно из аксиомы выбора. Тем же методом (по X. Кнезеру) проводится доказательство теоремы о полном упорядочении.

В разделе о теории Галуа были использованы некоторые идеи из известной книги Артина. Пробел в одном доказательстве в теории циклических полей, на который мне многие указывали, ликвидирован в § 61. В § 67 доказывается существование нормального базиса.

Первый том теперь заканчивается главой «Вещественные поля». Теория нормирований должна быть представлена во втором томе.

Цюрих, февраль 1966. Б. Л. ван дер Варден

ПРЕДИСЛОВИЕ К ВОСЬМОМУ ИЗДАНИЮ ПЕРВОГО ТОМА

В предлагаемом издании исправлено несколько опечаток, на которые я обратил внимание благодаря любезным письмам. Все прочее осталось неизменным.

Цюрих, апрель 1971. Б. Л. ван дер Варден

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ ВТОРОГО ТОМА

В начало второго тома вошли две новые главы: первая — об алгебраических функциях одной переменной, охватывающая материал вплоть до теоремы Римана — Роха для полей с произвольным полем констант; другая — о топологической алгебре, посвященная в основном пополнению топологических групп, колец и тел. Я благодарю за многочисленные полезные замечания профессора Г. Р. Фишера, прочитавшего эти две главы в рукописи.

Глава «Общая теория идеалов» расширена путем введения важных теорем Крулля о символических степенях простых идеалов и о цепях простых идеалов. Сильнее выявлена связь между теорией идеалов алгебраически замкнутых колец и теорией нормирований. В главу «Линейная алгебра» введен раздел об антисимметрических билинейных формах.

В главе «Алгебры» увеличено число примеров, развита теория радикала по Джекобсону без условия конечности и сделано большее ударение на основополагающих идеях Эмми Нётер о прямых суммах и пересечениях модулей. Благодаря сочетанию методов Джекобсона и Эмми Нётер удалось значительно упростить доказательства основных теорем.

С помощью различных сокращений я пытался сделать объем книги более приемлемым. По этой причине выпала глава «Теория исключения».

Теорема о существовании системы результантов для однородных уравнений, которая доказывалась раньше с помощью теории исключения, теперь появляется лишь в § 121 как следствие теоремы Гильберта о корнях.

Цюрих, июнь 1959. Б. Л. ван дер Варден

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ ВТОРОГО ТОМА

Профессор П. Рокетт был настолько любезен, что предоставил в мое распоряжение чудесное доказательство теоремы о вычетах для алгебраических дифференциалов . Благодаря этому глава об алгебраических функциях смогла приобрести вызывающую удовлетворение завершенность.

В «Топологической алгебре» вводятся пополнения групп, колец и тел по Бурбаки с помощью фильтра, независимо от второй аксиомы счетности. Конец главы сокращен.

Важная для многочисленных приложений глава «Линейная алгебра» помещена в начало тома, а глава «Топологическая алгебра» - в конец.

Теперь второй том состоит из трех независимых кусков, в каждом из которых три главы:

главы 12—14: линейная алгебра, алгебры, теория представлений;

главы 15—17: теория идеалов;

главы 18—20: нормированные поля, алгебраические функции, топологическая алгебра.

Это подразделение отражено в более точной, чем раньше, схеме зависимости глав.

Цюрих, март 1967, Б. Л. ван дер Варден

СХЕМА ЗАВИСИМОСТИ ГЛАВ

(см. скан)